高数微分方程.ppt

文档介绍：高数微分方程
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一、知识点与考点

恒等式,
含有未知函数导数或微分的方程.
若函数y =  (x)代入方程后可使之成为
(高数微分方程
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一、知识点与考点

恒等式,
含有未知函数导数或微分的方程.
若函数y =  (x)代入方程后可使之成为
(3) 方程的解:
(1) 微分方程:
未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程.
其一般形式为:
标准形式为:
(2) 方程的阶:
方程中未知函数导数的最高阶数.
则称函数y =  (x)为方程的解.
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特解:
n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解
称为方程的通解.
通解:
初始条件:
微分方程不含任意常数的解称为方程的特解.
确定通解中任意常数的条件
一阶方程的初始条件为:
二阶方程的初始条件为:
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2. 一阶微分方程及其解法:
分离变量:
两边积分:
(2) 齐次方程:
则 y = x u ,
(1) 可分离变量的方程:
令
原方程变为:
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分离变量:
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两边积分:
(3) 一阶线性微分方程:
①常数变易法:
对应的齐次方程为:
分离变量:
两边积分:
令
是非齐次方程
的解,
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两边积分得:
代入非齐次方程得:
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原方程的通解为:
将
②公式法:
将方程化为标准形:
把P(x) , Q(x)代入公式:
直接积分即可求得原方程的通解.
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这是以 p 为未知函数 x 为自
设其通解为
原方程的通解为:
即
3. 可降阶的高阶微分方程
可用逐次积分法求解.
(1)
(2)
为降阶作变量代换,
原方程变为
则
令
(方程右端不显含未知函数y)
变量的一阶方程.
若可解,
(方程右端仅含自变量x)
(3)
(方程右端不显含自变量x)
为降阶作变量代换,
令
则
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原方程变为:
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这是以 p为未知函数 y 为
自变量的一阶方程.
设其通解为
若可解,
即
原方程的通解为:
二、典型例题分析与解答
例1.
已知函数 y = y (x)在任意点x处的增量为
且当x0 时,
则 y (1) 等于( ) .
y(0) =π ,
 是 x的高阶无穷小,
D
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分析：
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解此方程可得y(x),
从而可得 y(1)的值.
两边积分:
由微分定义知
解:
由于
分离变量:
且当x0 时,
 是 x的高阶
无穷小,
由微分定义知
即有:
由 y (0) =π 知 C =π.
函数的表达式为
故选项(D)正确.
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例2.
微分方程
的通解为_________.
注释:
本题考查可分离变量方程的解法.
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解:
所给方程为可分离变量的方程.
分离变量:
两边积分:
应填:
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例3.
解:
求微分方程
满足初始条件
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的特解.
所给微分方程变形为:
将
这是齐次微分方程.
令
则
方程变为
即为
分离变量:
两边积分:
可得:
代入得
将
代入得C = – 1.
特解为
注释:
本题考查齐次方程的解法.
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例4.
解:
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微分方程
满足
的特解为____________.
所给方程为一阶线性方程,
方程两边
但不是标准形.
其中
则有
将
代入通解得:
C = 0 .
同除以x得:
特解为:
注释:
本题考查一阶线性非齐次方程的解法.
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例5.
微分