文档介绍：第三章极限与函数的连续性
§1 极限问题的提出
17世纪,牛顿当时把连续量称为流量,。
考虑自由落体运动,路程看作流量,
:
给时间一个微小的改变(称之为瞬——moment),则平均速度为
.
然后令,便得瞬时速度.
非零又是零,到底是什么?难怪贝克莱讥讽说这是“消失的量的鬼魂”.
广泛的应用显示了巨大的威力
哈雷彗星:哈雷观测了前两次彗星的出现,用牛顿的方法算出了彗星第三次出现的时间。事实证明计算结果是正确的!可惜哈雷没看见就去世了。
直到19世纪柯西引进极限的概念,但仍不完善,
魏尔斯特拉斯最终用的语言,彻底解决了这个困难,从而推动了近代分析的蓬勃发展.
§2 数列的极限
定义域为正整数的函数称为数列,记为,即有
=,。
数列也可以写成,,,…,,…。
例如=, 写出来就是 1,,,,…;
=, 写出来就是-1,,-,,…;
=, 写出来就是 2,,,,…;
=, 写出来就是 1,4,9,16,…;
= 写出来就是-1,1,-1,1,…。
数列的极限,粗略地说,就是当无限增大时,的变化趋势.
= 当无限增大时,无限接近于0,因而的极限是0.
=,当无限增大时,在0的左右跳动,总的趋势无限接近于0。
=, 当无限增大时,单调下降无限地接近于1.
=, 当无限增大时,也无限增大,并不无限接近任一个常数。
= 它在-1与1两个数来回跳动,并不无限地接近任一个常数。
注意,不能说越来越接近!
“当无限增大时,无限接近于”,
确切的意思究竟是什么?接近到什么程度?如何在数量上刻划?
下面寻求一种语言,从数量上分析接近程度,使“无限”严格化。
以=为例,
的增大程度与0的接近程度,用距离
当时, ,
当时, ,
……
当时, 。
直观形象地说,如果把数列,,…,,,…
从第N+1项起后面的所有项叫做数列的尾巴,则尾巴中的每项与0的距离都小于。
“无限”二字如何反映?
应该是:与0的距离可以任意小。因此应该起主导作用!
将上面的叙述反过来
给定,,当时,有
给定,,当时,有
……
给定,,当时,有
将上面的语言抽象化,便有下面的定义.
设是一数列,,存在正整数,当>时,都有
<,
则称是数列当趋于无穷时的极限,或称数列收敛,且收敛于,记为
或.
没有极限的数列称为发散数列.
的任意性,将“无限”二字刻划出来。越小,则N越大,不论多大只要存在即可。
,,当时,有
几何解释:任意给定以为中心的区间,必然从某项起,后
面的所有项都落在区间之中.
强调几点:
1、是任意的。它是一个变量,不是一个数。一旦给定,相对固定。
2、N是依赖的,一般说,越小,则N越大。重要的是N的存在性!
一旦存在则不是唯一的。
3、数列的前有限项不影响数列的极限或收敛性。重要的是之后的项,
即数列的尾巴。
4、极限定义本身并没有给出求极限的方法。但它深刻地描述了数列趋于极限的
变化过程。
5、实数的四则运算是从二个数(或有穷个数)出发求一个数,
例如从和求.
从数列到极限,也是一种运算。求极限则完全不同了,是从一个数列,即从无穷个数出发,,,,,这个准则不仅在检验一些具体数列的极限时是重要的,,它是人类经过漫长的时间才抽象出来的.
我们可以用定义来验证所求极限的正确性。
例6 证明=0 ().
证明对任意给定的,要使
=,
只要>.取=[ ]+l,则当>时,有
.
故的极限为0.
例7 设,证明=0.
证法1 若,,不妨设<1,要使
<,
即<
只要>,
令,则当时,=0.
证法2 ,使得=,从而
==<.
对任给的,要使,只要放大后的,因此取
=+1,则当时,有
<
这就证明了=0.
从前面的例子可见,整个证明过程实际上是找的过程,采用的是反推法,即从出发,,***,它将适当放大到,,.
例8 设>0,证明=1.