文档介绍：§3 函数的升降、凸性和函数作图
设在连续,在可导,则
在单调上升的充要条件是在有.
(下降) 。
思考:下面是否成立???
在严格单调上升的充要条件是在有.
(下降) 。
研究例子在上连续、可导、严格单调上升,
设在连续,在可导,则
在单调上升(下降)的在有.
在严格单调上升(下降)的在有.
但在有,因此即使是在严格单调的情况下,必要性结论也不能加强为。
证明充分性前面已证,下证必要性.
设在单调上升,则对任意,当且时, ,
于是
对单调下降的情形同理可证.
设,讨论函数的单调区间.
解
为讨论方便,我们常列表如下:
从表中可见函数单调上升区间是和,
单调下降区间是.
单调性的另一个重要应用是证明不等式.
证明: 当时有
等号成立当且仅当.
前面用拉格朗日中值定理证明了此不等式,下面再用单调性证明之.
证明令,则
因为在连续,故在严格上升,在严格下降,所以且,
即且.
令
因为在点连续,故在严格上升,在严格下降,所以,且.
, 且.
综合上述有且.
显然当时,上述不等式化为等式.
基本思想:先考虑极值点的必要条件,从定义域中确定出可能的极值点,
再考虑充分性判别,判别这些点是否确是极值点.
若,称点为稳定点.
费马定理: 若是的极值点且存在,则有.
或说,若可导,则极值点必是稳定点.
是的极值点是稳定点或不可导点.
那么,稳定点和不可导点是否就是极值点呢?
是函数的稳定点,但显然不是极值点.
又如函数
在点连续但不可导. 显然, 点也不是极值点.
(极值的第一充分条件) (一阶导判别)
设在点连续, 在和可导, 则
若,则在点取得极小值;
若,则在点取得极大值;
若在和同时为正或同时为负, 则点不是极值点.
证明 1) 因为在点连续,则
, 在单调下降,
, 在单调上升,
故有, ,即是极小值点。
(当不等号为严格不等时,则极值也是严格的。)
2) 同理可证.
3) 在和同号,且在点连续,则在这两个区间上有相同的单调性,且在上严格单调,从而不是极值点.
这个定理并不要求在点可导,,则有下面的判别法.
(极值的第二充分条件) (二阶导判别)
设在可导且,又存在.
1) 若,则是严格极大值;
2) 若,则是严格极小值.
直观解释:表明在点的变化是逐渐减小,
而表明在点自左向右是从到,
即,曲线在点附近的切线斜率是从变到.
这时直观地可见,.
证明 1) 已知。
由极限的保号性,存在,当时,有
故当时,,即在严格上升;
当时,,即在严格下降。
从而且。即是严格极大值。
2) 同理可证。
注当时,不能断言是极值!
研究函数和。
,
但不是极值而显然是极小值,从而是极大值。可见当时,各种情形都可能发生,这时要用第一充分条件进行判别。
求极值的步骤:
求可能的极值点——稳定点、不可导点
用充分条件判别这些点是否极值点
例3 求的极值点与极值
解函数在上连续,当时有
令得稳定点。现列表如下:
5
0
不存在
0
极大值点,极大值为;
极小值点,极小值为。
函数,曲线上任意两点间的弧段总是位于这两点连线的下方,
称具有这种特点的曲线是下凸的,
,
称具有这种特点的曲线是上凸的。
设和是曲线上任意两点,则
这两点连线的方程
与之间的任一点可表为
因此,曲线上两点间的弧段总是位于两点连线的下方等价于
即.
故我们有下述严格的定义.
,有
,
则称在为下凸函数,若和,有
,
则称在为上凸函数.
凸函数与凹函数的关系
在为上凸函数在为下凸函数,
故以下只讨论下凸函数。
在为下凸函数的充要条件是对中任意三点,有
公式的几何意义:
任意,有曲线上三点,
则曲线是下凸的当且仅当的斜率小于或等于的斜率.
证明事实上,
等价于,
等价于
等价于
令,则,代入上式得
.
设在可导,则
在为下凸函数在单调上升.
证明充分性对任意,由拉格朗日中值定理,存在,
使得,
因为,而单调上升,所以,因此
.
必要性,,对充分小的正数,有
令得
即在单调上升。
设在二阶可导,则
在为下凸函数,;