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《数学分析》课件 第四章 微商与微分4.doc

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《数学分析》课件 第四章 微商与微分4.doc

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《数学分析》课件 第四章 微商与微分4.doc

文档介绍

文档介绍:§4 高阶微商与高阶微分

物体运动规律
瞬时速度==
瞬时加速度==,或==.
由此产生了高阶导数的概念.
一般地,设在可导,,则称的微商为的二阶微商(二阶导数),记为
或或
类似地可定义的微商为的三阶微商(三阶导数),记为
或或.
定义的微商为的阶微商(阶导数),记为
或=.
下面给出几个常用的阶导公式
设(是正整数),
若,则
若,则
例1
例2 设,求
解,,,。
研究规律,得,
==,
==

由此我们不难归纳出
对于,则



例3 设,求
解;
方程两边再对求导并注意是的函数,得
2();


=
;
若,则

由数学归纳法得

=
例4

高阶微商的运算法则:若都是的函数
1、=.
2、若,则
=,=1,2…. (莱布尼兹公式)
这里,函数的零阶导数理解为函数本身.
,时就是导数的乘积公式,设公式对成立,则


(令)



其中用等式,,
由数学归纳法知公式对一切正整数成立。
例4 设=,求。




由上面的规律易见,若=,其中是正整数,则
若,则
若,则
例6 设,求
解==
=,
故=-=
注意,对=用莱布尼兹公式当然可以,但显然是自找麻烦

函数的一阶微分是

其中和是两个独立的变量,现在把一阶微分视为的函数,如果它是可微的,则再求一次微分得
==.
上式称为函数的二阶微分,记为。
把记为,即有=
注意: =是自变量微分的平方,
=是函数的微分,
应理解为的二阶微分
类似地,可以定义的三阶微分=.
一般地, 的阶微分为=,
于是=
这正是阶导数符号的由来。
应搞清楚、