文档介绍：II、分析部分
第二章线性多变量系统的运动分析
在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后,本章将讨论线性多变量系统的运动分析,即线性状态方程的求解。对于线性定常系统,为保证状态方程解的存在性和唯一性,系统矩阵A和输入矩阵B中各元必须有界。一般来说,在实际工程中,这个条件是一定满足的。
线性系统状态方程的解
给定线性定常系统非齐次状态方程为
Σ: ()
其中,,且初始条件为。
将方程()写为
在上式两边左乘e-At,可得
将上式由O积分到t,得
故可求出其解为
()
或
()
式中为系统的状态转移矩阵。
对于线性时变系统非齐次状态方程,
()
类似可求出其解为
()
一般说来,线性时变系统的状态转移矩阵只能表示成一个无穷项之和,只有在特殊情况下,才能写成矩阵指数函数的形式。
状态转移矩阵的性质
时变系统状态转移矩阵是满足如下矩阵微分方程和初始条件
()
的解。
下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质:
1、;
2、;
3、;
4、当A给定后, 唯一;
5、计算时变系统状态转移矩阵的公式
()
上式一般不能写成封闭形式,可按精度要求,用数值计算的方法取有限项近似。特别地,只有当满足
即在矩阵乘法可交换的条件下,才可表示为如下矩阵指数函数形式
()
显然,定常系统的状态转移矩阵不依赖于初始时刻,其性质仅是上述时变系统的特例。
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[] 试求如下线性定常系统
的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆Ф-1(t)。
[解] 对于该系统,
其状态转移矩阵由下式确定
由于
其逆矩阵为
因此
=
由于Ф-1(t)=Ф(-t),故可求得状态转移矩阵的逆为
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[] 求下列系统的时间响应:
式中,u(t)为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数,即u(t)=1(t)。
[解] 对该系统
,即
因此,系统对单位阶跃输入的响应为:
或
如果初始状态为零,即X(0)=0,可将X(t)简化为
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向量矩阵分析中的若干结果
,即着重讨论Caley-Hamilton定理和最小多项式。
-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理
在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时,凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。
考虑n×n维矩阵A及其特征方程
凯莱-哈密尔顿定理指出,矩阵A满足其自身的特征方程,即
()
为了证明此定理,注意到(λI-A)的伴随矩阵adj(λI-A)是λ的n -1次多项式,即
式中,。由于
可得
从上式可看出,A 和(i=1,2,…,n)相乘的次序是可交换的。因此,如果(λI-A)及其伴随矩阵adj(λI-A)中有一个为零,则其乘积为零。如果在上式中用A代替λ,显然λI-A为零。这样
即证明了凯莱-哈密尔顿定理。
最小多项式
按照凯莱-哈密尔顿定理,任一n×n维矩阵A满足其自身的特征方程,然而特征方程不一定是A满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵A为其根的最小阶次多项式称为最小多项式,也就是说,定义n×n维矩阵A的最小多项式为最小阶次的多项式φ(λ),即
使得φ(A)= 0,或者
最小多项式在n×n维矩阵多项式的计算中起着重要作用。
假设λ的多项式d(λ)是(λI-A)的伴随矩阵adj(λI-A)的所有元素的最高公约式。可以证明,如果将d(λ)的λ最高阶次的系数选为1,则最小多项式φ(λ)由下式给出:
()
注意,n×n维矩阵A的最小多项式φ(λ)可按下列步骤求出:
1、根据伴随矩阵adj(λI-A),写出作为λ的因式分解多项式的adj(λI-A)的各元素;
2、确定作为伴随矩阵adj(λI-A)各元素的最高公约式d(λ)。选取d(λ)的λ最高阶次系数为1。如果不存在公约式,则d(λ)=1;
3、最小多项式φ(λ)可由|λI-A