文档介绍：.
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第一章行列式
:
<1>;
解
=2´<-4>´3+0´<-1>´<-1>+1´1´8
-0´1´3-2´<-1>´8-1´<-4>´<-1>
=-<n-1>a]<x-a>n-1.
<3>;
解 根据第6题结果, 有
.
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此行列式为范德蒙德行列式.
.
<4>;
解
<按第1行展开>
.
再按最后一行展开得递推公式
D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=<andn-bncn>D2n-2.
于是 .
.
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而,
所以 .
<5> D=det<aij>,其中aij=|i-j|;
解 aij=|i-j|,
=<-1>n-1<n-1>2n-2.
<6>, 其中a1a2×××an¹0.
解
.
:
<1>;
解 因为
,
.
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,,
,,
所以 ,,,.
<2>.
解 因为
,
,,
,,
.
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,
所以
,,,,.
,m取何值时,齐次线性方程组有非零解？
解 系数行列式为
.
令D=0,得
m=0或l=1.
于是, 当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解.
,齐次线性方程组有非零解？
解 系数行列式为
=<1-l>3+<l-3>-4<1-l>-2<1-l><-3-l>
=<1-l>3+2<1-l>2+l-3.
.
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令D=0, 得
l=0,l=2或l=3.
于是, 当l=0,l=2或l=3时,该齐次线性方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算
:
,
求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.
解由已知:
,
故 ,
.
,,
求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.
.
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解由已知
,
所以有.
,, 求3AB-2A及ATB.
解
,
.
:
<1>;
解.
<2>;
.
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解 =<1´3+2´2+3´1>=<10>.
<3>;
解 .
<4>;
解 .
<5>;
解
=<a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3>
.
,, 问:
<1>AB=BA吗?
.
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解AB¹BA.
因为,, 所以AB¹BA.
<2><A+B>2=A2+2AB+B2吗?
解 <A+B>2¹A2+2AB+B2.
因为,
,
但 ,
所以<A+B>2¹A2+2AB+B2.
<3><A+B><A-B>=A2-B2吗?
解 <A+B><A-B>¹A2-B2.
因为,,
,
而 ,
故<A+B><A-B>¹A2-B2.
:
<1>若A2=0, 则A=0;
.
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解 取, 则A2=0, 但A¹0.
<2>若A2=A,则A=0或A=E;
解 取, 则A2=A,但A¹0且A¹E.
<3>若AX=AY,且A¹0,则X=Y.
解 取
,,,
则AX=AY,且A¹0,但X¹Y.
,求A2,A3,×××,Ak.
解,
,
××××××,
.
,求Ak.
解首先观察
.
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,
,
,
,
××××××,
.
用数学归纳法证明:
当k=2时,显然成立.
假设k时成立,则k+1时,
,
由数学归纳法原理知:
.
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.
,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵.
证明因为AT=A, 所以
<BTAB>T=BT<BTA>T=BTATB=BTAB,
从而BTAB是对称矩阵.
,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证明充分性:因为AT=A,BT=B, 且AB=BA, 所以
<AB>T=<BA>T=ATBT=AB,
即AB是对称矩阵.
必要性: 因为AT