高等代数北大版习题参考答案.docx

文档介绍：第九章
欧氏空间

aij 是一个 n 阶正定矩阵 ,而
( x1 , x2 , , xn ) ,
( y1 , y2 , , yn ) ,
在 Rn 中定义内积 ( , ) ,
证明在这个定义之下 , Rn 成一欧氏空间；
求单位向量
1 (1,0, ,0) , 2 (0,1, ,0) , , n ( 0,0, ,1) ，
的度量矩阵；
3)
具体写出这个空间中的柯西
—布湿柯夫斯基不等式。
解
1)易见 (
,
)
是 Rn
上的一个二元实函数，且
(1)
(
,
)
()
(
,
) ，
(2)
( k
, )
(k
)
k(
) k( , ) ，
(3)
(
,
)
(
)
( ,
)
(,)，
(4)
(
,
)
aij xi y j
，
i , j
由于 A 是正定矩阵，因此
aij xi y j 是正定而次型，从而
( , ) 0，且仅当
0 时有
i, j
( , ) 0。
2)设单位向量
1 (1,0, ,0) , 2 (0,1, ,0) , ,
的度量矩阵为 B (bij ) ，则

n (0,0, ,1) ，
a11
a12
a1n
0
bij
( i
, j
a22
a22
a2 n
1
( j )
aij
(i , j
1,2, , n)
) (0, ,1, 0)
=
，
，
(i )
an1
an 2
ann
0
因此有 B A。
由定义，知
( , )
aij xi y j
( , )
aij xi x j
( , )
aij yi yj
i , j
，
i , j
，
i , j
，
故柯西 — 布湿柯夫斯基不等式为
在
R
4
中 求
, 之间
,
2.
,
(内积按通常定义 )，设 :
1)
(2,1,3,2) ,
(1,2,
2,1) ，
2)
(1,2,2,3) ,
(3,1,
5,1) ，
3)
(1,1,1,2) ,
(3,2,
1,0) 。
解 1)由定义 ,得
(, ) 2 1 1 2 3(1) 2 1 0，
所以
,
。
因为
(,)1
3 2
1
2 5 3
1 18，
(
,
)
1
1 2 2
223318，
(
,
)
3 3 1
1223
3 36，
18
2
cos ,
2 ，
18 36
所以
4 。
同理可得
(
, )
3 ,
( , )
17 ,
( ,
) 3 ,
cos,
3
77
，
所以
,
cos 1
3
77 。
3.
d (
,
)
通常为
,
的距离，证明；
d( , )
d ( , )
d ( , ) 。
证 由距离的定义及三角不等式可得
d ( , ) d( , ) 。
4 在 R 4 中求一单位向量与 1,1, 1,1 , 1, 1, 1,1 , 2,1,1,3 正交。
解
设x1 , x2 , x3 , x4
与三个已知向量分别正交，得方程组