文档介绍：紧致Hausdorff空间上连续函数环的极大理想
摘要我们知道,,以及零点的唯一性(命题1,推论)由此出发,证明每个紧致Hausdorff空间与它的连续函数环的极大谱同胚(命题4),从而导出:两个紧Hausdorff空间的连续函数环同构,则这两个空间同胚,即“环同构”推出“拓扑同胚”(推论5),最后,讨论拓扑空间与其极大谱同胚的一个必要条件,由此得到拓扑空间是紧Hausdorff空间的一个充分必要条件(命题6).

下面先引入一些定义与记号.
设是的子集,以表示的闭包,表示的补集.
定义1设为一拓扑空间, 到实数集的全体连续函数对通常的函数加法、函数乘法构成环,称为上的连续函数环, 以表示:.
定义2设为一拓扑空间,对的任一理想,称集合为的公解(零点).
讨论1. ,,则故存在的开邻域,使得,从而是开集,即是闭集.
2.
定义3设为一拓扑空间,称集合为的极大谱.
在讨论中,我们不加区分地以“”表示(环)同构,拓扑同胚,其含义可由上下文看出.
命题1 设是紧Hausdorff空间,则,是单点集.
,即,则存在的开邻域,.由此构造的一个开覆盖, 紧致,存在有限子覆盖..设,其中为的复共轭,则;且,.从而在中可逆,矛盾.
,且.
首先证明:,若,,但,,矛盾.
其次,由于,是闭集,满足公理:中任何两个互不相交的闭集有不相交的开邻域;因此,由Urysohn引理: 又不是的零点,矛盾. □
推论若是紧空间,则对的任一理想,.
证明必要性是显然的.
充分性:对的任一理想,若,则,由命题1的存在性证明,,又,但. □
下面讨论上的拓扑,为此,再引入一些定义,以及它们的性质.
定义4设是拓扑空间,对任一非空子集,称集合为的理想.
显然,是的理想,简记为,从而有:
命题2 设是一个拓扑空间:
(1) ,有.
(2)设是的一个非空子集,则.
(3)设是的两个非空子集,若,则.
(4)设是的一个理想,若,则,特别地,若,则.
证明只证(1),其余皆显然.
设是自然投影, ,有,令,则,故而在中可逆,是域.. □
命题3 设是拓扑空间,对的任一理想,
定义.
则:
(1).
(2).
(3)对任意指标集,.
(4).
因此,令为的闭集,以上(1),(3),(4)保证了是拓扑空间.
证明(1),若满足,则. .
,若,则,故.
(2)若,,则.
(3) 由(2):.另一方面,若,,,故.
(4)由(2):.另一方面,若,,且,则是素理想,,:. □
命题4 设是紧致Hausdorff空间,则与的极大谱同胚: .
证明(1) 定义,则由命题1及命题2的(4), 可逆: .下面证明和是闭映射,从而是同胚.
(2),.由命题2的(3), .
另一方面,.否则,由Urysohn引理: ,使得在取值为1, 在取值为0, , 但,,设,由命题2的(4): ,.从而是闭集.
(3) 是闭映射,设,下面证明.
1.