高等数学期末复习题解.doc

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三、计算以下各题〔每题7分，共49分〕：
1．求极限.
解：
2. 在x = 0处可导，求常数.
解：因为f(x)在x = 0处可导必连续，所以
又因为f(x)在x = 0处可导，所以
3..
解：
4. .
解：
.
解：
6.
7．计算.
解：
四、应用题〔每题8分，共16分〕：
1. 某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆截面的面积为5m2. 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？
解：设截面的周长为l , 1分
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截面的面积为,即 3分
故 4分
因为， 令得驻点 6分
又因为，驻点唯一，故极小值点就是最小值点. 7分
所以截面积的底宽为才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省. 8分
2. 求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积 .
解： 2分
所以抛物线在点和处的切线方程分别为
2分
且这两条切线的交点为，那么所求图形的面积为
8分
五、证明题〔5分〕：
证明：当x > 1时，.
证明 令，1分
在区间上满足拉格朗日中值定理，于是在中存在至少一点，使得
即2分
而，又因为，所以，
即.〔x > 1〕2分
或，那么
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三．计算题〔每题7分，共42分〕
.2．求极限.
3. 设方程确定为的函数，求.
4. 设函数在内可导，并且，求。
5. 求不定积分 .6. 求