文档介绍：2021北京卷高考理数试题及答案
2022年普通高等学校招生全国统一考试
数学〔理〕〔北京卷〕
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
〕
设{an}和{bn}是两个等差数列，记
cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)，
其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数．
〔Ⅰ〕假设an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列；
〔Ⅱ〕证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，；或者存在正整数m，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列．
2022年北京高考数学〔理科〕参考答案与解析
1．A
【解析】集合与集合的公共局部为，应选A．
2．B
【解析】，对应的点在第二象限，解得：
应选B．
3．C
【解析】当时，成立，进入循环，此时，；
当时，成立，继续循环，此时，；
当时，成立，继续循环，此时，；
当时，不成立，循环结束，输出．
应选C．
4．D
【解析】设，那么，由以下图可行域分析可知，在处取得最大值，代入可得，应选D．
5．A
【解析】奇偶性：的定义域是，关于原点对称，
由可得为奇函数．
单调性：函数是上的增函数，函数是上的减函数，根据单调性的运算，增函数减去减函数所得新函数是增
函数，即是上的增函数．综上选A
6．A
【解析】由于，是非零向量，“存在负数，使得．〞根据向量共线根本定理可知与共线，由于，所以与方向相反，从而有，所以是充分条件。反之，假设，与方向相反或夹角为钝角时，与可能不共线，所以不是必要条件。综上所述，可知〞是“〞的充分不必要条件，所以选A．
7．B
【解析】如以下图所示，在四棱锥中，最长的棱为，
所以，应选B．
8．D
【解析】由于，
所以，应选D．
9．
【解析】∵双曲线的离心率为
∴
∴
∵，，
∴
10．
【解析】∵是等差数列，，，
∴公差
∴
∵为等比数列，，
∴公比
∴
故
11．1
【解析】把圆改写为直角坐标方程，化简为，它是以为圆心，1为半径的圆。画出图形，连结圆心与点，交圆于点，此时取最小值，点坐标为，．
12．
【解析】∵因为角和角的终边关于轴对称
∴，
∴
13．，，
【解析】由题意知，，均小于，所以找到任意一组负整数，满足题意即可．
14．① ②
【解析】①设线段的中点为，那么，其中．
因此只需比拟，，三个点纵坐标的大小即可．
②由题意，，，故只需比拟三条直线，，的斜率即可．
15．
【解析】〔1〕
由正弦定理得：
〔2〕
为锐角
由得：
又
16．
【解析】〔1〕取、交点为，连结．
∵面
面
面面
∴
在中，为中点
∴为中点
〔2〕方法一：
取中点为，中点为，连结，
∵，∴
又面面
面面
∴面
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标
可知，，，
易知面的法向量为
且，
设面的法向量为
可知
∴
由图可知二面角的平面角为锐角
∴二面角大小为
方法二：
过点作，交于点，连结
∵平面，∴，
∴平面，∴，
∴即为二面角的平面角
，可求得
∴
〔3〕方法一：
点，
∴
由〔2〕题面的一个法向量
设与平面所成角为
∴
方法二：
记，取中点，连结，，
取中点，连，易证点是中点，∴
∵平面平面，，
∴平面
∴平面
连结，，
∴
∵，，，由余弦定理知
∴，∴
设点到平面的距离为，
又，求得
记直线与平面所成角为
∴
17．
【解析】〔1〕50名服药者中指标的值小于60的人有15人，故随机抽取1人，此人指标 的值小于60的概率为
〔2〕的可能取值为：0，1，2
，，
0
1
2
〔3〕从图中服药者和未服药者指标数据的离散程度观察可知，服药者的方差大。
18．
【解析】〔1〕由抛物线过点，代入原方程得，
所以，原方程为．
由此得抛物线焦点为，准线方程为．
〔2〕
法一：
∵轴
设，根据题意显然有
假设要证为中点
只需证即可，左右同除有
即只需证明成立
其中
当直线斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线
斜率存在且不为零．
设直线
联立有，
考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以．
由韦达定理可知：……①， ……②
将①②代入上式，