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希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题
一、选择题:（每题1分，共10分）
1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )
A．45°. B．75°．55°. D．65°
2．2的平方的平方根是 ( ，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．
2．平面上有两个边长相等的正方形与A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的顶点A＇在正方形的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．
3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数及自然数n之与被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，
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试求：n1·n2之值．
答案及提示
一、选择题
提示：
1．若底边长为12．则其他二边之与也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．
又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．
=19882+3×1988+1-19892
=(1988+1)2+1988-19892=1988
3．只需选1，0，1，1，0，1代入，由于这时2，2，1，1．从而选(A)．
4．由图6可知：当∠60°时，∠
5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．
二、填空题
提示：
1．如图8：∠∠∠1=∠90°+∠1=∠∠3 =∠N．∴3．
5．当a，b，c均为正时，值为7．
当a，b，c不均为正时，值为-1．
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三、解答题
1．证法一 把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．
证法二 从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．
因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a-×177．
又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即
a-177．
∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．
2．如图9，重合部分面积＇是一个定值．
证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形的中心，知
∠A＇∠A＇45°．
又，当A＇B＇及A＇B重合时，必有A＇D＇及A＇C重合，故知∠＇∠＇C．
在△A＇与△A＇中，
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∴＇△A＇．
∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．
3．可能的四位数有9种：
1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．
其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．
1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,
9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，
9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．
即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．
即余数只有0，2，3，5，6五种．
它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(7)．
而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．
又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．
即 n1=4，n2=7
∴ n1×n2=4×7=28．
第二届（1991年）初中二年级第一试试题
一、选择题:（每题1分，共15分）
1．如图1，已知8，5，6，则的长是[ ]
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A．2; B．3; C．4; D．5
2．方程x2-56=0的两个根是[ ]
A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，6
3．已知△是等腰三角形，则[ ]
A．．．或．或或
4,则的大小关系是[ ]
A．a＞b＞c B． C．＞b D．＞c
≠