文档介绍：函数的对称性
其图像有着优美的对称性，
同时又有着优美的对称关系式
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1
1
-3
-1
-2
1
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4
3
2
-x
x
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（偶函数）
Y=F(x)图像关度看，
从”数”的角度看，
中心对称性
类比探究
x
2a-x
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F(x)+F(2a-x)=0
F(a-x)+F(a+x)=0
x
y
o
a
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
中心对称性
类比探究
a+x
a-x
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
b
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a
F(a+x)+F(a-x)=2b
F(x)+F(2a-x)=2b
b
中心对称性
y=F(x)图像关于(a,b)中心对称
类比探究
x
y
o
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思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,
则函数图像关于 对称
a+b
2
( ,0 )
点
则函数图像关于 对称
a+b
2
( ,C )
点
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知识内容：
函数图像的对称性
对称关系式
y=F(x)图像关于x=a轴对称
F(x)=F(2a-x)
F(a-x)=F(a+x)
y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称
F(x)+F(2a-x)=2b
F(a-x)+F(a+x)=2b
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数学思想方法:
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知识迁移：
已知对任意x，有f(x+2)=f(-x),
当x [2,3]，y=x
求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
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谢谢!
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奇函数
F(-x)=-F(x)
即：F(-x)+F(x)=0
函数图像关于(0,0)中心对称
-x
x
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F(x)+F(2a-x)=0
F(a-x)+F(a+x)=0
函数图像关于(a,0)中心对称
-x
x
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a
函数图像关于(a,0)中心对称
F(a+x)+F(a-x)=0
F(x)+F(2a-x)=0
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函数图像关于(a,0)中心对称
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-x x
函数图像关于直线x=0对称
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
F(a-x)=F(a+x)
x=a
F(x)=F(2a-x)
函数图像关于(0,0)中心对称
函数图像关于(a,0)中心对称
F(-x)=-F(x)
F(a-x)+F(a+x)=0
F(x)+F(2a-x)=0
轴对称
中心对称性
a
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函数 图像关于 轴对称
证明：
（必要性）
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-x
x
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-x
x
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思考？若函数 图像关于 轴对称，
有怎样的对称关系式？
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函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
证明：
（必要性）
任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)
若点P关于直线x=a的对称点P’
也在f(x)图像上．
分析：
P(x0,y0)
P’
P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)
Y0=f(2a-x0)
y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点
都在y=f(x)图像上
则y=f(x)图像上图象关于x=a对称
则由P的任意性可知
？
f(x)=f(2a-x)
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函数图像关于直线x=0对称
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
F(a-x)=F(a+x)
x=a
F(x)=F(2a-x)
函数图像关于(0,0)中心对称
函数图像关于(a,0)中心对称
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