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圆的知识点总结
（一）圆的有关性质
［知识归纳］
  1. 圆的有关概念：
   圆、圆心、半径、圆的部、圆的外部、同心圆、等圆；
   弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧B＝90°，∠B＝25°，∴∠E＝∠B＝25°
   ∴的度数为50°。
   解法三：（用圆心角求）如图2－3，连结CD
图2－3
   ∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°
   ∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝65°
   ∴∠ACD＝50°，∴的度数为50°。
 
例3. 已知：如图3，△ABC接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。
析：因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。
略解：（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。如图3，由AB＝AC，可知点A是优弧的中点，因为OD⊥BC且AB＝AC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO
   ∵BO＝6，OD＝2
   ∴
   在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8
   ∴
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图3图3－1
（2）若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，如图3－1添加辅助线及求出，在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4
∴AB
综上所述AB＝
小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。
 
 例4. 已知：如图4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CD延长线上一点，AF交⊙O于E。求证：AE·EF＝EC·ED
图4
分析：求证的等积式AE·EF＝EC·ED中，有两条线段EF、ED在△EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证明△FED∽△CEA即可。
证明：连结AC
   ∵四边形DEAC接于圆
   ∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA
   ∵直径AB⊥CD，∴
   ∴∠DCA＝∠CEA，∴∠FED＝∠CEA
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   ∴△FED∽△CEA
   ∴，∴AE·EF＝EC·ED
小结：四边形接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。
 
例5. 已知：如图5，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E。
图5
（1）如果CD⊥AB，求证：EN＝NM；
（2）如果弦CD交AB于点F，且CD＝AB，求证CE2＝EF·ED；
（3）如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F，且CD＝AB，那么（2）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
 证明：（1）连结BM（如图5－1）
图5－1
   ∵AM是直径，∴∠ABM＝90°
   ∵CD⊥AB，∴BM∥CD
   ∴∠E＝∠MBN，又AM⊥BC，∴＝BN
   ∴Rt△CEN≌Rt△BMN，∴EN＝NM
   （2）连结BD，BE，AC（如图5－2）
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图5－2
   ∵点E是BC垂直平分线AM上一点，∴BE＝EC
   ∵CD＝AB，∴
   ∴∠ACD＝∠BDC，又AB＝AC，AE＝AE
   ∴△ABE≌△ACE，∴∠ABE＝∠ACD＝∠BDC
   ∵∠BED是公共角，∴△BED∽△FEB
   ∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED
   （3）结论成立。如图5－3
图5－3
   证明：仿（2）可证△ABE≌△ACE
   ∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE
   又∵AB＝CD，∴
   ∴∠ACB＝∠DBC，∴BD∥AC
   ∴∠BDE＋∠ACE＝180°
   而∠FBE＋∠ABE＝180°
   ∴∠BDE＝∠FBE，而∠BED是公共角
   ∴△BED∽△FEB
   ∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED
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（二）直线与圆的关系
  1. 直线与圆的位置关系
直线和圆的位置
相离
相切
相交
公共点的个数
0
1
2
公共点名称
无
切点
交点
直线名称
无
切线
割线
圆心到直线的距离d与半径r的关系
  2. 切线的判定