文档介绍：-
. z.
立体几何中的向量方法
向量，利用向量的垂直，可得线面平行.
证明 方法一 ∵=，又,
,又平面，
∥平面.
方法二
图3-2-2
建系如图，设正方体的棱长为1，则可得
，
.
设平面的法向量为，
则， 得，
令，得，．
，
，∥平面.
【评析】 向量法证明几何中的平行问题，可以有两个途径，一是在平面内找一向量与直线的方向向量共线；二是通过建立空间直角坐标系，依托直线的方向向量和平面的法向量的垂直，来证明平行．
-
. z.
变式训练2．正方体中，分别在上，且，其中为正方体棱长．
求证：∥平面.
证明
图3-2-3
如下列图，建立空间直角坐标系，则
故，
又显然为平面的一个法向量，
而，
∴⊥.
又平面，因此∥平面.
，为棱上的动点．
〔1〕求证：；〔2〕假设平面平面，试确定点的位置．
图3-2-4
【思维分析】正方体为建立空间直角坐标系提供了有利条件，对于〔1〕，
-
. z.
；对于〔2〕，利用条件平面平面，通过垂直条件下的向量数量积等于，求得点的位置；取的中点，易证是二面角的平面角，利用向量数量积证明即可．
[解析]以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设棱长为．
〔1〕，
设，则，
，所以，即．
〔2〕法一：设的中点为，连接，,则，
所以，
因为≌,所以，所以,
又，所以,所以,所以是二面角的平面角，因为平面平面，所以，
所以，即．
故当为的中点时，能使平面平面．
法二：为的中点，证明如下：由为的中点得，
设的中点为，连接，,则，
所以，则，，即．
-
. z.
又，所以,所以,所以是二面角的平面角，
因为，所以，
故,即，所以平面平面．
所以当为的中点时，能使平面平面．
【评析】利用向量解决立体几何中的线线，线面，面面的位置关系问题一般经过以下几个步骤：恰当建系，求相关点的坐标，求相关向量坐标，向量运算，将向量运算结果复原成立体几何问题或结论．
变式训练3．在正棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，是的重心，分别为上的点，且.
求证：平面⊥平面.
证明 (1)方法一
图3-2-5
如下列图3-2-5，以三棱锥的顶点为原点，建立空间直角坐标系．
令，则
,
．
，
.
-
. z.
而⊥平面，∴⊥平面，
又平面，∴平面⊥平面.
方法二 :同方法一，建立空间直角坐标系，则
,
设平面的法向量为，
则， 得，
令，得，．
而显然是平面的一个法向量.
又，
即平面的法向量与平面的法向量互相垂直，
∴平面⊥平面.
【课后****题答案】
练****第104页〕
(1)答案：：.
答案：：,.
答案：：.
提示：〔1〕〔2〕〔3〕与不垂直，也不平行，与相交.
【自主探究提升】
夯实根底
∥，则的值为( )
-
. z.
B. C.
答案:C . 提示：∥,即，
故,.
，则的值为( )
C.-6 D.±6
答案:B. 提示： ,,.
3．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的位置关系是( )
A．平行