文档介绍：-
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传染病模型
摘要
"：
问题二，在区分安康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合数据可算出每个已感染人群每天接触安康人群的函数和数学模型。
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将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t时刻这两类人的人数。i (0)=。
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假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比。即；
(2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。
由以上假设可得微分方程
………… ()
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这是变量别离方程，用别离变量法可求得其解为
………… ()
其图形如以下图3-1所示
模型 () 可以用来预报传染较快的疾病前期传染病顶峰到来的时询。医学上称为传染病曲线，它表示传染病人的增加率与时间的关系，如图3-2所示。
由 ()式可得
………… 〔)
再求二阶导数，并令，可解得极大点为
………… ()
从 () 式可以看出，当传染病强度k或人口总数n增加时，都将变小，即传染病顶峰来得快。这与实际情况吻合。同时，如果知道了传染率k(k由统计数据得到)，即可预报传染病顶峰到来的时间，这对于预防传染病是有益处的。
模型 () 的缺点是：当t→∞时，由()式可知i(t)→n，即最后人人都要得病。这显然与实袜情况不符。造成这个结果的原因是假设 (2) 中假设一人得病后经久不愈，也不会死亡。
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为了得到与实际情况更吻合的模型，必须修改假设 (2) 。实际上不是每个人得病后都会传染别人，因为其中一部份会被隔离，还有由于医治和人的身抵抗力会痊愈，有的人会死亡从而也就不再会传染给别人了。因此必须对模型作进一步的修改，建立新的模型。
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传染病无免疫性〔SIS 模型〕——病人治愈成为安康人，安康人可再次被感染，问题三参加安康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。
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模型建立与求解：
〔1〕模型建立的建立如下：
〔2〕模型的求解过程如下：
……〔〕；
m
l
s
/
=
…………〔〕；
，用别离变量法可求得其解为：
其中di/dt可看成一元二次方程中的y，i相当于一元二次方程中的*。这样的解法便利了运算。
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〔3〕下面的分析di/dt与s的关系：
其中s~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。在上图中我们讨论的是s大于一的情况。关系模式成抛物线有最高点；抛物线与i轴的交点1-1/s为方程的驻点。
(4)分析i与时间t的关系〔s>1的情况〕：
第一种情况：随着时间t的增加，i的值一直增加但不会超过1-1/ s的值，而是无限接近。这说明随着时间的增加，感染传染病的人数如果没有条件控制的话会一直增加。
第二种情况是：感染传染病的人数一定时，有医疗措施但没有控制条件的话，虽然人数会减少但也是无限接近一个固定的值为1-1/ s。
〔5〕分析i与时间t的关系〔s<=1的情况〕：
当s<=1时，di/dt<0；可推出随着时间t的增加，患传染病的人数会越来越少直到全部痊愈。说明控制病人的有效接触人数有很重要的作用。
由以上可得出结论：
感染期内有效接触感染的安康者人数不超过病人数。
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