生数学冬令营试题.doc

文档介绍：2006年中国数学奥林匹克第二十一届全国中学生数学冬令营试题
第一天
福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分
实数满足，求证：
．
证明 只需对任意，证明不等式成立即可．
记，那么
，
，，
，
把 ⑥
是方程①满足②的解．
假设，或，那么
⑦
是方程①满足②的解．
当，那么公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解．假设方程①有偶数解，那么
，
可得 ．
假设 ，或者 ，或者
，那么是方程①的一奇数解．
假设 ，或，那么
是方程①的一奇数解．
引理证毕．
由引理，假设方程①没有奇数解，那么它有一个满足②的偶数解．令，考虑二次方程
， ⑧
那么 ，
这说明方程⑧至少有一个整数根，即
， ⑨
上式说明必为奇数．将⑨乘以4n后配方得
，
这说明方程有奇数解．
2006中国数学奥林匹克第二十一届全国中学生数学冬令营
第二天
福州 1月13日 上午8∶00～12∶30 每题21分
四、在直角三角形ABC中，，△ABC 的内切圆O分
别与边BC，CA， AB 相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，假设
，求证：．
证明 设AE = AF = x，BD＝BF＝y，CD＝CE＝z，AP＝m，PD＝n．
因为，所以．
延长AD至Q，使得，连接BQ，CQ，那么P，B，Q，C四点共圆，令DQ＝l，那么由相交弦定理和切割线定理可得
， ①
． ②
因为∽，所以，故
． ③
在Rt △ACD和Rt △ACB中，由勾股定理得
， ④
． ⑤
③－②，得 ， ⑥
①÷⑥，得 ，
所以 ， ⑦
②×⑦，结合④，得 ，
整理得 ． ⑧
又⑤式可写为 ， ⑨
由⑧，⑨得 ． ⑩
又⑤式还可写为 ，
把上式代入⑩，消去，得
，
解得 ，
代入得， ，
将上面的x，y代入④，得
，
结合②，得 ，
从而 ，
所以，，即 ．