文档介绍：-
. z.
13—立体几何中的向量方法
D所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,假设以DA,DC,DP所在直线分别为*,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为( A )
(A)(1,1,1) (B)(1,1,)(C)(1,1,)(D)(1,1,2)
解析:设P(0,0,z),
依题意知A(2,0,0),B(2,2,0),
则E(1,1,),
于是=(0,0,z),=(-1,1,),
cos<,>===.
解得z=±2,
-
. z.
由题图知z=2,故E(1,1,1).
,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为( A )
(A)a (B)a (C)a (D)a
解析:以D为原点建立如下图的空间直角坐标系D*yz,
则A(a,0,0),C1(0,a,a),
N(a,a,).
设M(*,y,z).
∵点M在AC1上且=,
∴(*-a,y,z)=(-*,a-y,a-z)
∴*=a,y=,z=.
∴M(,,),
∴||=
=a.
应选A.
,PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则||等于(C)
(A)6 (B)6(C)12 (D)144
解析:因为=++,
所以=+++2·
=36+36+36+2×36cos 60°
=144.
所以||=12.
=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ=. 
解析:由得==,
-
. z.
∴8=3(6-λ),
解得λ=-2或λ=.
答案:-2或
(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(*,-1,3)在平面ABC内,则*=. 
解析:根据共面向量定理设=λ+μ,
即(*-4,-2,0)=λ(-2,2,-2)+μ(-1,6,-8),
由此得解得λ=-4,μ=1,
所以*=4+8-1=11.
答案:11
1．异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
2．直线与平面所成角
如下图，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝．
3．二面角
(1)假设AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)．
平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ．设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图(2)(3)．
[典例引领]
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. z.
(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
解：(1)证明：连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF．在菱形ABCD中，不妨设GB＝1．
由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝．
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC．
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC．
在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝．
在Rt△FDG中，可得FG＝．
在直角梯形BDFE中，
由BD＝2，BE＝，DF＝，
可得EF＝．
从而EG2＋FG2＝EF2，
所以EG⊥FG．
又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC．
因为EG⊂平面AEC，
所以平面AEC⊥平面AFC．
(2)以G为坐