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高等代数（北大第三版）答案
目录
第一章 多项式
第二章 行列式
第三章 线性方程组
第四章 矩阵
第五章 二次型
第六章 线性空间
第七章 可得
其中，即证。
7．主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。
1）设是一对称矩阵，为特殊上三角矩阵，而，证明：与的对应顺序主子式有相同的值；
2）证明：如果对称矩阵的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵使成对角形；
3）利用以上结果证明：如果矩阵的顺序主子式全大于零，则是正定二次型。
证 1）采用归纳法。当时，设
则
考虑的两个顺序主子式：的一阶顺序主子式为，而二阶顺序主子式为
与的各阶顺序主子式相同，故此时结论成立。
归纳假设结论对阶矩阵成立，今考察阶矩阵，将写成分块矩阵
其中为特殊上三角矩阵。于是
由归纳假设，的一切阶的顺序主子式，即的顺序主子式与的顺序主子式有相同的值，而的阶顺序主子式就是，由
知的阶顺序主子式也与的阶顺序主子式相等，即证。
2）设阶对称矩阵，因，同时对的第一行与第一列进行相同的第三种初等变换，可以化成对称矩阵
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于是由1）知，从而，再对进行类似的初等变换，使矩阵的第二行与第二列中除外其余都化成零；如此继续下去，经过若干次行列同时进行的第三种初等变换，便可以将化成对角形
由于每进行一次行、列的第三种初等变换，相当于右乘一个上三角形阵，左乘一个下三角形阵，而上三角形阵之积仍为上三角形阵，故存在，使，命题得证。
3）由2）知，存在使
又由1）知的所有顺序主子式与的所有顺序主子式有相同的值，故
所以。
所以
因是非退化线性替换，且
由于都大于零，故是正定的。
8。证明：1）如果
是正定二次型，那么
是负定二次型；
2）如果是正定矩阵，那么
这里是的阶顺序主子式；
3）如果是正定矩阵，那么
4）如果是阶实可逆矩阵，那么
证 1）作变换，即
则
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因为是正定矩阵，所以是负定二次型。
2）为正定矩阵，故对应的阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
是负定二次型。注意到
又因，所以
当时，有
综上有，即证。
3）由2）得
4）作非退化的线性替换，则为正定二次型，所以是正定矩阵，且
再由3）便得
：实对称矩阵是半正定的充分必要条件是的一切主子式全大于或等于零（所谓阶主子式，是指形为
的级子式，其中）。
证 必要性。取的任一个阶主子式相应的矩阵
对应的二次型为
令，代入，得
故存在非退化矩阵使
其中。故
充分性。设的主子式全大于或等于零，任取的第个顺序主子式相应的矩阵
作
由行列式性质，得
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其中是中一切阶主子式的与，由题设，的一切阶主子式，所以。故当时，有
即当时，是正定矩阵。假若不是半正定矩阵，则存在一非零向量，使。于是令
则
这与时为正定矩阵矛盾，故为半正定矩阵。
第六章 线性空间
：。
证 任取由得所以即证。又因故。再证第二式，任取或但因此无论哪 一种情形，都有此即。但所以。
，。
证 则在后一情形，于是所以，由此得。反之，若，则 在前一情形，因此故得在后一情形，因而，得故
于是。
若。
在前一情形X， 。
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3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法与数量乘法；
设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法与数量乘法；
全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法与数量乘法；
平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法与数量乘法；
全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
平面上全体向量，对于通常的加法与如下定义的数量乘法：
集合与加法同6），数量乘法定义为：
全体正实数r，加法与数量乘法定义为：
解 1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如
2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵}
因为
f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）
所以
f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）
由于矩阵对加法与数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。
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3）矩阵的加法与与数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：
当A，B为反对称矩阵，