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财经大学2009-2010学年第二学期《数学模型》期末试卷
考试形式： 论 文 课程模块： 成绩：
论文题目： 高限的，顾客的到达相互独立，到达规律服从参数的泊松分布；单服务台，队长无限，先到先服务；各顾客的服务时间相互独立，且服从参数为的负指数分布。
确定系统在任意时刻的状态为的概率
已知顾客的到达规律服从参数为的泊松分布，服务时间服从参数为的负指数分布；若有个顾客，只有一个接受服务，其余的顾客排队等待，有无限个位置可排队，于是在时间间隔有：
有一个顾客到达的概率为.
没有一个顾客到达的概率为.
有一个顾客被服务完的概率为.
没有一个顾客被服务完的概率为.
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多余一个顾客到达或服务完离去的概率为。
则在时刻系统中有个顾客（即状态为）的概率，可能的情况见表一。
表一 状态的概率
情况
时刻的顾客数
在区间
在时刻
的顾客数
到达
离去
（A）
（B）
（C）
(D)
×
×
√
√
×
√
×
√
这是一个生灭过程，四种情况是相互独立的事件，则有
，
整理得，
并令，则得
，
当时，类似地，可有
，
为求稳态解，假设当时，的极限存在，即有
，
则
，
，
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这是关于的差分方程，也反映了系统状态的转移关系，即每一状态都是平衡的，见图一。求得，递推可得.
图一 M/ M/ 1的状态转移关系图
令，称为服务强度。即为平均到达率与平均服务率之比。由概率的性质：，即，于是
就是所求的系统状态为的概率。
系统的运行指标
（1）队长（平均顾客数）：因为系统的状态为，由期望的定义得
.
队列长（等待的平均顾客数）：
，
系统中顾客的逗留时间：系统中的一个顾客的逗留时间，服从于参数为的负指数分布，分布函数和分布密度分布为
，
所以有
.
系统中顾客的等待时间：
，
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其中一个顾客平均服务时间为.
系统多余个顾客的概率为
.
下列关系式又称为运行指标的Little公式：
.
（M/ M/ N)
上面分析的是只有一个窗口服务的情形，对于我们来讲高校食堂的服务窗口大体是这样的，见图二：
图二 高校食堂窗口设置图
这个系统可看成n个M/ M/ 1型的子系统。
每个窗口的平均服务率不变，则每个窗口的平均到达率为，这时每个窗口的服务强度变为.
类似的我们可求出每个窗口的平均队长和平均等待时间为
，.
问题分析：
对于学生到达食堂时,当其未能得到及时服务时,往往要排队等待,这就可以用排队论的有关原理来解决食堂窗口配置的问题。根据学生到达食堂的实际情况,周末或者节假日超市的学生数要比平时相应的时间人数有明显的减少。为便于研究,可以把学生到达看做符合泊松过程,而服务时间服从负指数分布。因此,进一步说食堂服务系统可近似看做M/ M/ N排队系统,即顾客到达为泊松流、服务时间服从负指数分布、多个服务台的排队系统。
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设系统有n个服务窗口，且各窗口工作是相互独立的，学生按泊松流到达的强度为；又各窗口服务时间为负指数分布，单个窗口的平均服务率为，则整个食堂窗口的平均服务率为。令，称为系统的服务强度。当时，系统就会出现排队现象，即有学生在排队等待。在此约定只排一个队等候，拿个窗口出现空闲时，等候的学生按先后顺序前往空闲的食堂窗口接受服务。系统的排队模型如图三。
图三 多服务窗口等待制模型M/ M/ n框图
由于系统没有限制学生来源和系统容量，故系统的可能状态集应为，由此可以画出系统的状态流图如图四。
图四 M/ M/ n模型状态流图
如图四所示，状态表示系统有个服务窗口忙着接待学生，其余个服务窗口空闲着；当(到达系统的学生超过）时，个服务窗口均忙着接待学生，而余下的个学生排队等候。
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模型的建立
在平衡条件下，系统状态概率的平衡方程为
，
，，
， ， 。
由递推关系求得系统