文档介绍：圆
一、圆的概念
集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨O
A
C
角 所 对
B A
O
∴ C 90 ∴ AB是直径
推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是
直角三角形。
即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB
∴△ ABC 是直角三角形或 C 90
C
B A
O
注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半
的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ O 中，
∵四边 ABCD 是内接四边形
D
C
∴ C
BAD 180
BD180
DAE
C
B
九、切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ MN OA 且 MN 过半径 OA 外端
∴MN 是⊙O的切线
A E
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
O
M A N
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
B
O
相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
P
即：∵ PA 、 PB 是的两条切线
A
∴ PA PB； PO平分 BPA
十一、圆幂定理
1、相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
D
B
O
即：在⊙ O 中，∵弦 AB 、 CD 相交于点 P ，
P
∴PA PB PC PD
A
C
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径
C
所成的两
条线段的比例中项。
B
A
E
即：在⊙ O 中，∵直径 AB
O
CD ，
D
CE2 AE BE
2、切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段
长的比例中项。
即：在⊙ O 中，∵ PA 是切线， PB 是割线
A
∴ PA
2
PC PB
D
E
3、割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条
P
O
C
B
割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图） 。
即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线
∴PC PB
PD PE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
A
如图： O1O2 垂直平分 AB 。
O1
O2
即：∵⊙ O1 、⊙ O2 相交于 A 、 B 两点
B
∴ O1O2 垂直平分 AB
A
B
C
O1
O2
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（ 1）公切线长： Rt O1O2C 中，
AB 2
CO12
O1O2
2
CO22
；
（ 2）外公切线长：
CO2 是半径之差； 内公切线长：
CO2 是半径之和
十四、圆内正多边形的计算
（ 1）正三角形
在⊙ O 中△ ABC 是正三角形，有关计算在 Rt BOD 中进行： OD : BD : OB 1: