G立体几何（理科）.doc

文档介绍：G 立体几何
G1 空间几何体的结构
9．G1[2012·重庆卷］ 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1，1，和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是（　　)（精品文档请下载）
A．(0，） B．(0，)
C．(1，G7［2012·课标全国卷］ 如图1－2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(　　）（精品文档请下载）
图1－2
A．6 B．9 C．12 D．18
7．B　[解析］ 由三视图可知，该几何体是三棱锥，其底面是斜边长为6的等腰直角三角形，有一条长为3的侧棱垂直于底面(即三棱锥的高是3)，可知底面等腰直角三角形斜边上的高为3，故该几何体的体积是V＝××6×3×3＝9，故选B.（精品文档请下载）
11．G2、G7[2012·浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图1－3所示，则该三棱锥的体积等于________cm3。（精品文档请下载）
图1－3
11．1　［解析] 本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查
学生对数据的运算处理能力和空间想象能力．由三视图可知，几何体为一个三棱锥，则V＝Sh＝××1×3×2＝1。（精品文档请下载）
[点评］ 正确的识图是解决三视图问题的关键，同时要注意棱长的长度、关系等．
G3 平面的基本性质、空间两条直线
18．G3、G5[2012·陕西卷］ (1)如图1－6所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真;（精品文档请下载）
图1－6
（2）写出上述命题的逆命题,并判断其真假（不需证明)．
18．解：（1)证法一：如下图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c,n的方向向量分别是a,b，c，n，则b,c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ,μ使得c＝λb＋μn,则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b）＋μ（a·n)，（精品文档请下载）
因为a⊥b,所以a·b＝0，
又因为aπ，n⊥π，所以a·n＝0，
故a·c ＝0,从而a⊥c.
证法二：如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c。
∵PO⊥π,aπ，∴直线PO⊥a，
又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P，
∴a⊥平面PAO，又c平面PAO,∴a⊥c.
（2)逆命题为：a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影,若a⊥c,则a⊥b.（精品文档请下载）
逆命题为真命题．
G4 空间中的平行关系
18．G4、G7、G11[2012·全国卷］ 如图1－1，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点,PE＝2EC.（精品文档请下载）
（1)证明：PC⊥平面BED；
(2）设二面角A－PB－C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小．
图1－1
18．解：方法一：（1）因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，
又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.
设AC∩BD＝F，＝2,
PA＝2，PE＝2EC，故PC＝2,EC＝，FC＝，（精品文档请下载）
从而＝，＝.（精品文档请下载）
因为＝，∠FCE＝∠PCA,
所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°,
由此知PC⊥EF。
PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.
(2）在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°,所以平面PAB⊥平面PBC。
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直,故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB,所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2。（精品文档请下载）
∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC,故AD∥平面PBC,A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.（精品文档请下载）
设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.（精品文档请下载）
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
方法二：（1）以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz。
设C(2,0,0),D（，b，0),其中b>0，则P（0,0,2），E，B(，－b,0）．（精品文档请下载）
于是＝(2，0，－2），
＝,＝,（精品文档请下载）
从而·＝0，·＝0，（精品文档请下载）
故PC