文档介绍：主成分分析方法
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问题的提出
地理环境是多要素的复杂系统，在进行分析时多变量问题是经常会遇到的。变量太多，会增加分析问题的难度与复杂性，而且在实际问题中，多个变量之间往往具有一定的相关关系。因此，能否在各
这样决定的新变量指标z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…，xp的第一，第二，…，第m主成分。
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主成分分析的基本原理
其中，z1在总方差中占的比例最大，z2，z3，…，zm的方差依次递减。
在实际问题的分析中，常挑选前几个最大的主成分，这样既减少了变量的数目，又抓住了主要矛盾，简化了变量之间的关系。
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主成分分析的基本原理
从以上分析可以看出，找主成分就是确定原来变量 xj ( j = 1，2，…，p ) 在各主成分zi ( i = 1，2，…，m ) 上的载荷lij ( i = 1，2，…，m；j = 1，2，…，p )，从数学上容易知道，它们分别是 x1, x2, …, xp 的相关矩阵的 m 个较大的特征值所对应的特征向量。
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主成分分析的计算步骤
(1)计算相关系数矩阵
(2)计算特征值与特征向量
(3)计算主成分贡献率及累计贡献率
(4)计算主成分载荷
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(1)计算相关系数矩阵
式中，rij（i，j = 1，2，…，p）为原来变量xi 与 xj 的相关系数
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(1)计算相关系数矩阵
相关系数 rij 的计算公式为:
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(1)计算相关系数矩阵
因为相关系数矩阵 R 是实对称矩阵（即rij = rji ），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。
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(2)计算特征值与特征向量
首先解特征方程|λI – R | = 0
求出特征值λi（i =1，2，…，p )，并使其按大小顺序排列，即λ1≥λ2≥…，≥λp≥0；
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(2)计算特征值与特征向量
然后分别求出对应于特征值λi的特征向量ei ( i=1, 2, …, p )。
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(2)计算特征值与特征向量
数值计算方法
实对称矩阵特征值与特征向量的雅可比法
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雅可比法的算法原理
雅可比（Jacobi）方法求实对称矩阵特征值与特征向量的基本思路如下：
设 n 阶矩阵 A 为对称矩阵，在其非对角线元素中选取一个绝对值最大的元素，设为apq，利用平面旋转变换矩阵 R0( p, q,θ)对 A进行正交相似变换：
A1 = A R0 ( p, q,θ)
其中， R0 ( p, q,θ) 的元素为：
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雅可比法的算法原理
rpp＝cosθ，rqq＝ cosθ ，
rpq＝-sinθ, rqp＝sinθ,
rij＝0，i，j ≠ p, q
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雅可比法的算法原理
如果按下式确定角度θ :
则对称矩阵A经上述变换后，其非对角线元素的平方和将减少2a2pq，对角线元素的平方和将增加2a2pq，而矩阵中所有元素的平方和保持不变。
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雅可比法的算法原理
由此可知，对称矩阵 A 每经过一次这样的正交相似变换，其非对角线元素的平方和将向 0 趋近一步。因此，只要反复进行上述正交变换，就可以将对称矩阵 A 变换为对角矩阵。对角矩阵中对角线上的元素即是矩阵的特征值，而每一步中的平面旋转矩阵的乘积的一列即为对应的特征向量。
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(3)计算主成分贡献率 及 累计贡献率
主成分zi贡献率为：
累计贡献率为：
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(3)计算主成分贡献率 及 累计贡献率
一般取累计贡献率达85-95％的特征值λ1，λ2，…，λm所对应的第一，第二，……，第m（m≤p）个主成分。
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(4)计算主成分载荷
主成分载荷是主成分与变量之间的相关系数
计算公式为：
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(4)计算主成分载荷
由此可以进一步计算主成分得分：
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主成分分析在遥感中的应用
主成分变换 ( Principal Components Transformation, PCT )
或
K-L变换（Karhunen-Loeve变换）
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遥感图的主成分变换
遥感多光谱图像波段多，信息量大，但是数据量也太多。为了不使信息丢失，常常需要进行多波段运算，以致占用大量的机时和硬盘空间。
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遥感图的主成分变换
考虑到多