文档介绍：数列极限存在的条件
第1页，本讲稿共29页
一 单调有界原理
定义 称为单调上升的，若
称为单调下降的，若
单调增加和单调减少数列统称为单调数列
提问:
收敛的数列是否一定数列极限存在的条件
第1页，本讲稿共29页
一 单调有界原理
定义 称为单调上升的，若
称为单调下降的，若
单调增加和单调减少数列统称为单调数列
提问:
收敛的数列是否一定有界？
有界的数列是否一定收敛？
第2页，本讲稿共29页
M
定理1(单调有界定理)
单调有界数列必有极限
定理1的几何解释
x1
x5
x4
x3
x2
xn
A
以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生
数列极限存在的条件
第3页，本讲稿共29页
数列极限存在的条件
定理1(单调有界定理)
单调有界数列必有极限
证明
第4页，本讲稿共29页
例1 设
证明数列{ }收敛.
例2
例3
(n重根号),· · ·
证明数列
单调有界, 并求极限.
求
( 计算
的逐次逼近法, 亦即迭代法 ).
解 由均值不等式, 有
有下界;
第5页，本讲稿共29页
注意到对
有
有
↘···,
例4
1）证明序列
的极限存在；
2）求极限
第6页，本讲稿共29页
解 1） 因
时有
所以
即有
这表明序列
有下界。又
故序列
下降。因此序列极限存在，记极限
值为c。于是
或
第7页，本讲稿共29页
2） 因
所以
又
即得
第8页，本讲稿共29页
例2
证
(舍去)
第9页，本讲稿共29页
二 数列收敛的充要条件 —— Cauchy收敛准则
1 Cauchy列：
如果数列
具有以下特性：
则称数列
是一个基本数列.（ Cauchy列）
2 Cauchy收敛准则：
定理 数列
收敛的充要条件是：
是一个基本数列.
数列
收敛
或
第10页，本讲稿共29页
第11页，本讲稿共29页
第12页，本讲稿共29页
数列极限存在的条件
定理的几何解释
柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.
x1
x2
x3
x4
x5
第13页，本讲稿共29页
例5 证明: 任一无限十进小数
的不足近似值所组成的数列
收敛. 其中
是
中的数.
证 令
有
第14页，本讲稿共29页
……
第15页，本讲稿共29页
第16页，本讲稿共29页
第17页，本讲稿共29页
第18页，本讲稿共29页
三. 关于极限
（证明留在下段进行.）
例8
例9
例10
第19页，本讲稿共29页
四 数列
证法一
单调有界证法欣赏:
Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，
Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.
设
用二项式展开，得
第20页，本讲稿共29页
注意到
且
比
多一项
即
↗.
第21页，本讲稿共29页
有界.
综上, 数列{
}单调有界.
评註: 该证法朴素而稳健, 不失大师风度.
证法二 ( 利用Bernoulli不等式 )
注意到Bernoulli不等式
为正整数 ), 有
第22页，本讲稿共29页
第23页，本讲稿共29页
第24页，本讲稿共29页
第25页，本讲稿共29页
第26页，本讲稿共29页
第27页，本讲稿共29页
第28页，本讲稿共29页
第29页，本讲稿共29页