文档介绍：判断系稳定性的方法
一、 稳定性判据（时域）
1、 赫尔维茨判据
系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正；
将系统特征方程各项系数排列成如下行列式；
当主行列式及其对角线上的各子
s 5
1
3
2
s 4
2
6
1
s 3
0
3
6
3
2
s 2
1
s 13
2
6
3
2
s 0
1
6
3
3
2
3
，
当ε→0时，
2 63
2
故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定。
例 2：已知控制系统的特征方程为
s
6
2
5
8
4
12
3
20
2
16
16
0
s
s
s
s
s
试判定系统的稳定性。
解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。
s
6
1
8
20 16
s
5
( 2
12
16)
s
5
1
6
8
列写劳思计算表并计算得： s
4
( 2
12
16)
s
4
1
6
8
s
3
0
0
因 s3 行各项全为零，故以 s4 行的各项作系数，列写辅助方程如下：
A ss
4
6
2
8
s
将 A(s)对 s 求导，得：
d
A s
4s 3
12s
ds
再将上式的系数代替 s3 行的各项系数，继续写出以下劳思计算表：
s 6
1
8
20 16
s 5
1
6
8
s 4
1
6
8
s 3
( 4
12)
s 3
1
3
s 2
3
8
s 1
1
s 0
3
8
从劳思表的第一列可以看出， 各项均无符号变化，故特征方程无正根。
但是因 s3 行出现全为零的情况，故必有共轭虚根存在。
共轭虚根可通过辅助方程求得 s
4
6
2
8
0
s
其共轭虚根为s1，2
2j ；s3，4
2j
，这四个根同时也是原方程的
根，他们位于虚轴上，因此该控制系统处于临界状态，系统不稳定。
二、 根轨迹法（复域）
系统稳定的充要条件： 所有的闭环极点都在 S平面的左半平面。
例：已知系统的开环传递函数为 ，试应用根轨
迹法分析系统的稳定性。
解： (K *=2k)
做根轨迹：
（a） 有三条根轨迹（ n=3 m=0 n-m=3 ）
（b） 实轴上 为根轨迹段
（c） 渐近线的夹角与坐标：