文档介绍：现代控制理论总结
第一章：控制系统的状态空间表达式
1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：
在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量Xi态x (t0)转移到指定的任一终端状态X (tf), 则称次状态是能控的；
x= Ax, x(l0) = x0
y = Cx
如果对任意给定的输入u (t),在有限的观测时间t>to内，使得根据［to,tf］期间的输出y (t) 能唯一的确定系统在初始时刻的状态x (切)，则称状态x (切)是能观测的，若系统的每一个状态都是能观测的则称此系统是状态完全能观测的。
2、能控性能观性的判别：
能控性••常用的有格拉姆矩阵判据，秩判据，约旦标准型判据，pbh判据
约旦判据：
若线性定常系统的系统矩阵A为对角标准型，则系统状态完全能控的充要条件是输入矩阵B没有任何一行元素全部为零。
若线性定常系统的系统矩阵A为约当标准型，则系统状态完全能控的充要条件是①输入矩阵B中对应于每个约当块最后一行的元素不全为零②输入矩阵B中对应于互异特征根的各行元素不全为零
一般系统的能控性判据：
若系统矩阵A的特征值互异，A可变化为对角标准型，此时系统完全能控的充要条件是错误!未找到引用源。的各行元素没有全为零的行。
若系统矩阵A的特征值有重根，A可变化为约旦标准型，此时系统完全能控的充要条件是①输入矩阵错误!未找到引用源。中对应于每个约当块最后一行的元素不全为零② 输入矩阵错误!未找到引用源。中对应于互异特征根的各行元素中，没有一行元素全部为零
秩判据：
线性定常系统的状态方程为x=Ax+bu其状态完全能控的充要条件是由A, b构成的能
控性矩阵M=［b Ab A2b ..... A"%］满秩，即rankM=n，否则当rankM<n时系统为不完全能控。
能观性:判别方法①通过线性变化把状态空间表达式化为约旦标准型，再根据标准型下的C阵的特点判别其能观性②直接根据A,C阵进行判别
约旦标准型判据：
若线性定常系统的系统矩阵A为对角标准型，则系统完全能观的充要条件是输出矩阵 C中没有任何一列元素全部为零；
若线性定常系统的系统矩阵A为约旦标准型，则系统完全能观的充要条件是①输出矩阵C中对应于每个约旦块第一列的一列元素不全为零②输出矩阵C中对应于互异特征值的各列元素中，没有一列元素全部为零。
秩判据：
由A, C构成的能观性矩阵
/ C \
满秩，即 rankN=no
3、对偶关系：
Xi = A,X, + B 凹
Ji = G*i
x2 = A2x2 + B2u2
y2 = C2x2 4] = 4： — C：,C2 ~
，弓为n维状态矢量；«|( %各为r与m维控制矢量；入，％各为m与r维输出矢最；4,冬为nxn系统矩阵；B：, 各为nxr与nxm维控制矩阵；C,, G各为mx n与r xn维输出矩阵。
显然.£,是一个，维输入m维输出的n阶系统，其对偶系统是一个m维输入r 维输出的n阶系统。图3. II是对偶系统和£,的结何图，从图中可以看出，互为对偶的两系统，输人端与输出端互换，信号传递方向相反-信号引出点和综合点互换，对应矩阵转置，