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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(200)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
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22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；
(2)设数列{an}的通项，证明：a2n－an＋＞ln 2.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案：B
解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则xM共有4个元素．故选B.
2．
答案：A
解析：.故选A.
3．
答案：B
解析：由(m＋n)⊥(m－n)⇒|m|2－|n|2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－.
4．
答案：B
解析：由题意知－1＜2x＋1＜0，则－1＜x＜.故选B.
5．
答案：A
解析：由题意知＝2y⇒x＝(y＞0)，
因此f－1(x)＝(x＞0)．故选A.
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6．
答案：C
解析：∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝.∴数列{an}是以为公比的等比数列．∵a2＝，∴a1＝4.
∴S10＝＝3(1－3－10)．故选C.
7．
答案：D
解析：因为(1＋x)8的展开式中x2的系数为，(1＋y)4的展开式中y2的系数为，.
8．
答案：B
解析：设P点坐标为(x0，y0)，则，
，，于是.
故.
∵∈[－2，－1]，
∴.故选B.
9．
答案：D
解析：由条件知f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即在
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上恒成立．∵函数在上为减函数，∴.∴a≥.
10．
答案：A
解析：如下图，连结AC交BD于点O，连结C1O，过C作CH⊥C1O于点H.
∵
CH⊥平面C1BD，
∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角．
设AA1＝2AB＝2，则，.
由等面积法，得C1O·CH＝OC·CC1，即，
∴.
∴sin∠HDC＝.故选A.
11．
答案：D
解析：由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4.①
由
∵，
∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，
即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④
由①②③④解得k＝.
12．
答案：C
解析：由题意知f(x)＝2cos2x·sin x＝2(1－sin2x)sin x.
令t＝sin x，t∈[－1,1]，
则g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3.
令g′(t)＝2－6t2＝0，得.
当t＝±1时，函数值为0；
当时，函数值为；
当时，函数值为.
∴g(t)max＝，
即f(x).
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
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13．答案：
解析：由题意知cos α＝.
故cot α＝.
14．答案：480
解析：先排除甲、乙外的4人，方法有种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有(种)．
15．答案：
解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所