文档介绍：*
小波变换原理与应用
小波变换原理与应用
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主要内容
小波的基本概念——什么是小波
小波的发展历史——工程到数学
小波的基本类型——多分辨分析
小波的快速算法——Mallat算法
小波包分解算法——精细化处理
——工程到数学
1988： Inrid Daubechies作为小波的创始人，揭示了小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实
Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献
在信号处理领域中，自从Inrid Daubechies完善了小波变换的数学理论和Stephane Mallat构造了小波分解和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息处理等
小波变换原理与应用
小波的基本类型——多分辨分析
小波变换是将信号分解成一个叫做小波的基函数序列,而这些基函数则使用一个原型小波采取伸缩和平移(即定尺度和定偏移量)的方法获得。因此,每一个小波都可以用两个参数来描述,即尺度和位置。小波变换能够把任何信号映射到一个由基本小波伸缩、平移而成的一组小波函数上去,实现信号在不同时刻、不同频带的合理分离而不丢失任何原始信息,小波变换方法所具有的这种时频灵活性可以在通信及信号处理领域实现时域频域的无缝隙过渡。
小波变换原理与应用
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小波的基本类型——多分辨分析
关于小波有两种典型的概念：连续小波变换，离散小波变换
连续小波变换定义为
可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸缩因子b的函数
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小波的基本类型——多分辨分析
傅立叶分解过程
小波分解过程
小波变换原理与应用
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小波的基本类型——多分辨分析
伸缩因子对小波的作用
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小波的基本类型——多分辨分析
平移因子对小波的作用
平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析，伸缩因子通过收缩和伸张小波，使得每次遍历分析实现对不同频率信号的逼近
小波变换原理与应用
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小波的基本类型——多分辨分析
连续小波变换实现过程
首先选择一个小波基函数，固定一个尺度因子，将它与信号的初始段进行比较 ；
通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度下的小波与所对应的信号段的相似程度）；
改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个步骤完成一次分析；
增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析；
循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。
小波变换原理与应用
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小波的基本类型——多分辨分析
小波变换原理与应用
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小波的基本类型——多分辨分析
小波逆变换
如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换的逆变换是存在的
小波变换原理与应用
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小波的基本类型——多分辨分析
连续小波变换的性质
叠加性（线性）
时移不变性
尺度特性
微分特性
内积定理
能量守恒特性
冗余性
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小波的基本类型——多分辨分析
离散小波变换DWT（ discrete wavelet transform，DWT ）定义
对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间进行均匀离散取值 （要求采样率满足尼奎斯特采样定理）
小波变换原理与应用
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小波的基本类型——多分辨分析
离散小波变换的可逆问题——框架理论
DWT的可逆问题蕴含的是DWT的表达能够完整的表达待分析信号的全部信息，这就需要数学上的框架理论作为支撑了，如果对于所有的待分析信号满足框架条件，那么DWT就是可逆的
小波变换原理与应用
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小波的基本类型——多分辨分析
正交小波变换与多分辨分析
多分辨分析也称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。它构造了一组正交基，使得尺度空间与小波空间相互正交。随着尺度由大到小的变化，可在各尺度上由粗及精地观察目标。这就是多分辨率分析的思想。在离散小波框架下，小波系数在时间-尺度空间域上仍然具有冗余性，在数值计算或数据压缩等方面仍然希望这种冗余度尽可能的小。在小波变换发展过程中，Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的构造了不同形式的小波基函数的基础上，是Meyer和Mallat将小波基函数的构造纳入到了一个统一的框架中，形成了多分辨分析理论。多分辨率分析理论不但将在那时之前的所有正交小波基的构造统一了起来，而且为此后的小波基的构造设定了框架。
小波变