文档介绍：3
数学模型
数学建模案例分析
线性代数建模案例汇编
张小向
东南大学数学系
2012年6月
目录
案例一. 交通网络
图4 某城市单行线车流量
(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.
(2)分析哪些流量数据是多余的.
(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.
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案例二. 配方问题
在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.

图5 日常膳食搭配图6 几种常见的作料
【模型准备】一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?
【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A、B、C、D四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A、B、C、D四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).
【模型建立】根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x袋第一种规格的佐料与y袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A、B、C、D四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组

【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵
(A, b) =,
可见又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成.
【模型分析】(1) 若令a1 = (2, 3, 1, 1)T, a2 = (1, 2, 1, 1)T, b = (4, 7, 5, 3)T, 则原问题等价于“线性方程组Ax = b是否有解”, 也等价于“b能否由a1, a2线性表示”.
(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.
(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x克第一种规格的佐料与
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y克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表
表1 混合后四种原料的含量
原料
佐料规格
A
B
C
D
第一种
x
x
x
x
第二种
y
y
y
y
第三种
(x + y)
(x + y)
(x + y)
(x + y)
因而有如下线性方程组
(*)
【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.
Matlab实验题
蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, . 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.
表2 三种食物的营养成分和慢跑的消耗情况
营养
每100克食物所含营养(克)
慢跑5分钟消耗量(克)
每日需要的营养量(克)
牛奶
大豆面粉
乳清
蛋白质
36
51
13
10
33
碳水化合物
52
34
74
20
45
脂肪
10
7
1
15
3
问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?
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案例三. 投入产出问题
在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief因此获得了1973年的Nobel经济学奖.

图7 三个经济部门
这里暂时只讨论一个简单的情形.