文档介绍：自控第四章
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§ 绘制根轨迹图的基本法则
一、根轨迹的连续性
由于根轨迹增益在Kg ：0 ∞ 变化时是连续的，所以特征根也连续变化，即根轨迹连续。
二、根轨迹的对称性
由于线性定常系统闭环特-1,-]
是根轨迹，
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七、根轨迹的会合点和分离点，根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。
实轴分离点和会合点的判别
实轴上相邻开环极点之间是根轨迹必有分离点；
实轴上相邻开环零点之间是根轨迹必有会合点；
实轴上开环零点、极点之间是根轨迹，可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。
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分离点或会合点位置的计算
重根法：基于代数重根法则，如果方程函数f(x)=0有重根，则f (x)=0的根也是f(x)=0的根。因此有
联立方程：
求解：
求得分离点。
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极值法：由于函数f(x)可以在重根处获得极值，有
得
求解方程
即可求得分离点。
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例 单位反馈系统，开环传递函数为右边所示；确定分离点和会合点。
解：由
得方程：
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八、根轨迹的出射角和入射角
根轨迹离开共轭复数极点的出发角称为出射角，
根轨迹趋于共轭复数零点的终止角称为入射角。
由幅角条件
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出射角为
入射角为
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例4－5 已知开环传递函数，试确定根轨迹的出射角。
解：由
同理
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九、根轨迹与虚轴的交点
计算根轨迹穿越虚轴的点。根轨迹穿越虚轴，其闭环根必为纯虚根，所以，可设s=jω，代入特征方程，联立实部方程和虚部方程解出。也可由劳斯判据解出
例4－6 已知开环传递函数，计算根轨迹与虚轴交点。
特征方程
得实部方程与虚部方程
解出
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十、闭环极点之和与闭环极点之积
（a）当n-m≥2时，闭环极点之和等于开环极点之和且为常数an-1。
根轨迹走向以重心sg为中心，左右两边对称运动。
（b）闭环极点之积和开环零极点关系如下。
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二、参量根轨迹
除根轨迹增益Kg外其它参数变化时——例如某些开环零、极点，绘制的根轨迹称参量根轨迹
绘制参量根轨迹的步骤
1．写出原系统的特征方程。
2．以特征方程中不含参量的各项除特征方程，得系统的等效开环传递函数，该方程中原系统的参量 即为等效系统的根轨迹增益。
3．绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。
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例4－9 控制系统如图所示，当Kg =4时，试绘制开环极点p变化时参量根轨迹。
解 当Kg =4时，开环传递函数
闭环传递函数
闭环特征方程
由于
等效开环传递函数
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控制系统的根轨迹法分析
根轨迹法分析是根据系统的结构和参数，绘制出系统的根轨迹图后，利用根轨迹图来对系统进行性能分析的分析方法。它包括：
确定系统的稳定性；
计算系统的动态性能和稳态性能；
根据性能要求确定系统的参数等。
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一、稳定性分析
例4－10 设系统开环传递函数为；根据根轨迹图分析系统稳定性。
解：根轨迹如图所示。
临界增益：Kgc=7
因此，系统稳定增益范围为
0 < Kg < 7
注意临界稳定的开环增益是?即Kg与Ko的关系。
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根轨迹法；稳定性分析
利用根轨迹法分析系统
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根轨迹法；动态性能分析
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二、瞬态性能分析
S平面上，欠阻尼系统闭环极点位置如图所示
等ts线，
等d线
等Mp线，
等n线，
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例4－11 单位反馈控制系统
的开环传递函数为
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量 Mp 18%，试确定开环增益。
解：作根轨迹如图。
超调量 Mp18%，
阻尼角 60°
作射线交根轨迹，闭环极点为
计算交点处根轨迹增益Kg，
由幅值条件
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开环增益为
3个闭环极点为：
-
- +
- -
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三、条件稳定系统的分析
例4－11 设某系统开环传递
函数为
作系统分析。
解：作根轨迹如图。
0<K<14，64<K<195
系统稳定
参数