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立体几何中的向量方法
适用学科
高中数学
适用年级
高中二年级
适用区域
通用
课时时长（分钟）
90
知识点
用空间向量处理平行垂直问题；用空间向量处理夹角问题.
教学目标
.理解直线z0;
平行于x轴的平面，A0,方程为ByCzD0;
通过x轴的平面，A0,D0,方程为ByCz0；
既平行于x轴又平行于y轴的平面，也就是一个平行于xoy坐标面的平面，方程为CzD0；类似地，可讨论其它特殊情形.
(3)两平面：AixBiyCizDi0与％xB2yC?zD20平行的充要条件是
Ai:A2Bi:B2Ci。Di:D2
求法三：用行列式求得法向量.
若n〔xlz,n2x2,y2,z2是平面内两个不共线向量，
ijk
计算行列式xiyizi=aibjck,
x2y2z2
则平面的法向量为na,b,c.
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考点2用空间向量求解二面角
（一）用法向量解二面角
用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是[0,],而两个向量的夹角取值范围也是[0,],那用向
量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过一个那个角即可，，总结出一个简单可行的方法，供读者参考2
用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向?
uruu
对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一），两个平面的法向量》,此则应分别垂直于
uruu
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，当％,‘同为逆时针方向或同为顺时针方向时，，我们只需要沿着二
面角棱的方向观察，，起点在半平面上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为向内”的方向；否则称为向外””，而另一个向外”.
对第二个问题，，我们可以选择其中一个坐标轴（如z轴），通过前
面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy平面的关系，是自下而上穿过xOy平面呢，还是自上而下
、...一一.......r.―一一…...一...一一...一一一......
穿过xOy平面？若是第一种情形，则n与OZ所夹的角是锐角，只需取法向量的z坐标为正即可；若是第二种情形，
r-
则n与OZ所夹的角是钝角，，则可以选取其它如yOz平
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面、zOx平面观察.
（二）用半平面内的向量解二面角
由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，（如图），起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响.
考点3空间直线与空间平面的向量形式
在平面解析几何中，曲线上的动点可以用坐标表示，通过对变量的运算达到求值、证明的目的．在立体几何中借用
向量，直线、平面上的点也可以用参数来表示，通过对参数的运算，同样可以达到求值、证明的目的．
．空间直线：如果l为经过已知点A且方向向量为a的直线，那么点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足
uuurr等式APta，或对任一点O（通常取坐标原点），有
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uuuruuurrOPOAta
这是空间直线的向量形式．
．空间平面：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对s、t，使
uuuruuuruuur
MPsMAtMB,或对空间任一定点O（通常取坐标原点），有
uuuruuuuruuuruuur
OPOMsMAtMB.
这是空间平面的向量形式．
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四、例题精析
SC的中
【例题1】如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD，底面ABCD,E、F分别是AB、
(I)求证：EF//平面SAD;
(H)设SD=2CD,求二面角A-EF-D的大小;
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【解析】(1)如图，建立空间直角坐标系 D xyz.
设 A(a,0Q), S(0Q b),则 B(a, a,0) C(0, a,0),
匚 a a b