文档介绍：线性代数（第五版）
线性代数—行列式
在以往的学****中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.
线性代数—行列式
.
奇排列：逆序数为奇数的排列.
偶排列：逆序数为偶数的排列.
思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？
答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.
线性代数—行列式
计算排列的逆序数的方法
则此排列的逆序数为
设是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序.
先看有多少个比大的数排在前面，记为；
再看有多少个比大的数排在前面，记为 ;
……
最后看有多少个比大的数排在前面，记为 ;
线性代数—行列式
例1：
求排列 32514 的逆序数.
解：
练****br/>求排列 453162 的逆序数.
解：
线性代数—行列式
§3 n 阶行列式的定义
线性代数—行列式
一、概念的引入
规律：
三阶行列式共有6项，即3!项．
每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
每一项可以写成（正负号除外），其中
是1、2、3的某个排列.
当是偶排列时，对应的项取正号；
当是奇排列时，对应的项取负号.
线性代数—行列式
所以，三阶行列式可以写成
其中表示对1、2、3的所有排列求和.
.
线性代数—行列式
二、n 阶行列式的定义
n 阶行列式共有 n! 项．
每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
每一项可以写成（正负号除外），其中
是1, 2, …, n 的某个排列.
当是偶排列时，对应的项取正号；
当是奇排列时，对应的项取负号.
简记作，
其中为行列式D的(i, j)元
线性代数—行列式
思考题：成立吗？
答：符号可以有两种理解：
若理解成绝对值，则；
若理解成一阶行列式，则 .
注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 .
线性代数—行列式
例：
写出四阶行列式中含有因子的项.
例：
计算行列式
解：
和
线性代数—行列式
解：
其中
线性代数—行列式
线性代数—行列式
四个结论：
(1) 对角行列式
(2)
线性代数—行列式
(3) 上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）
(4) 下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）
线性代数—行列式
思考题
已知，求的系数.
线性代数—行列式
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故的系数为－1.
解
含的项有两项，即
对应于
线性代数—行列式
§4 对换
线性代数—行列式
一、对换的定义
定义
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．
例如
线性代数—行列式
备注
相邻对换是对换的特殊情形.
一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.
如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.
m 次相邻对换
m+1次相邻对换
m 次相邻对换
m+1次相邻对换
线性代数—行列式
二、对换与排列奇偶性的关系
定理1　对换改变排列的奇偶性.
证明
先考虑相邻对换的情形．
线性代数—行列式
注意到除外，其它元素的逆序数不改变.
线性代数—行列式
当时，，， .
当时，，， .
因此相邻对换改变排列的奇偶性.
线性代数—行列式
既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么
2m+1次相邻对换
因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列