文档介绍：第一讲：空间几何中的向量方法 坐标运算与法向量
一、空间向量的坐标运算
3 = (。1，。2，。3), b = ,贝！J
(1) " + 〜=(Q] +但,。2 +力2'。3+”3)； (2)=(。1 _々,。2 _”2，。3处 Z?
"****j[Z2 - y2Zj法向量取与向量axb共线的即可。
* 知 「 「'
、= (2,2,1)
用这一方法解答例1,先把平面内的两个向量坐标对齐写_
仙= (4,5,3)
蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算2x3-1x5 = 1就是向量Ux方的 x坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算—[2x3 —4x1] = —2，作 ^jaxb的y坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算2x5-4x2 = 2作 为z坐标，所以axb = (1-2,2),可以取« = (1-2,2),它与前面方程法求得的 _ 1
"=(上,一1,1)是共线向量。
2
优点：操作步骤清晰，容易记住，开始觉得不****惯，多练几次后，速度快、结果 准。
例2 已知A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2),试求平面ABC的一个法向量.
练****已知平面。经过三点A(l,2,3)、3(2,0, —1)、C(3, —2,0),试求平面。的一个法 向量.
第二讲：立体几何的向量方法
.…平行与垂直
平行
设直线l,m的方向向量分别为a,片，
平面a,”的法向量分别为法G,则
(1)
线线平行：〃/m=
0
,
(2)
线面平行：〃/a=
0
,
(3)
面面平行：a〃[3=
=
,
例1：四棱锥P —ABCD,底面ABCD是正方形，PD上底面ABCD , PD = DC , E是 PC的中点，求证：
PA〃平面EDB.
二、垂直
1、 线线垂直
设直线Z的方向向量分别为。=（《,。2，。3），设直线山的方向向量分别为方=（如妇勿），
则 / _L <=>=0
2、 线面垂直
设直线/的方向向量分别为，设平面a的法向量分别为“=（"],处,“3），
则 / _1_ a =0
3、 面面垂直
设平面a的法向量分别为"=（"i，"2，"3），设平面&的法向量分别为^ =（片，岭，马），则
以 _L g B=<=>
（一）证明线线垂直
例2：已知正三棱柱ABC-A]B]C]的各棱长都为1, M是底面上BC边上的中点，N是侧 棱CC]上的点，且CN = ：CCi，求证：AB, ± MN .
变式1：已知正三棱柱ABC —A]B]C]的各棱长都为1,若侧棱CG的中点D,求证:
AB】1 AQ.
（二）证明线面垂直 例2：如图所示，在正方体ABCD — A]B|C]D|中，O为AC与BD的交点，G为CC|的中
点，求证：AjOl平面GBD.
变式训练2：如图所示，在正方体ABCD-A]B|C]D|中，E、F分别是BB〃 的中点,
求证：.
（三）证明面面垂直
例 3 在 四 面 体 AB BEF上平面ABC CD 中
AB 1 = = 90°,ZADB = 30°,E、F
分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF1平面ABC.
变式