文档介绍：应用泛函分析(第二版)
第三章连续线性算子与连续线性泛函
第3章连续线性算子与连续线性泛函
本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算〔2〕把视为到的算子，求。
解：算子的线性是显然的，下面分别求。
〔1〕设：，任取，由于，从而
故是有界的，并且。另一方面，取，并且
于是
故。
〔2〕设：，任取，由于，从而
因此，是有界的，并且；另一方面，对任何使得的自然数，作函数
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第三章连续线性算子与连续线性泛函
显然,且，而
所以，又有
因此，。
此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，他们的算子范数未必相同。
一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对算子的范数作出估计。
设在上连续，定义算子：为
则，且
证明：由于
故结论成立。
事实上，还可以进一步证明
由于证明要用到实分析知识，这里从略。
已知实矩阵，定义为，则
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，且。
证明：
故
对于赋范线性空间上的线性泛函，我们总视为到数域所成赋范线性空间的线性算子，因此，关于泛函的连续性，有界性以及它们之间的关系不再重述。对于赋范线性空间上的线性泛函，由于，所以，因而的范数就是。
对于线性泛函，还有下面的连续性等价定理。
[] 设是赋范线性空间，是上的线性泛函，则：
〔1〕是连续的充要条件是的零空间是的闭子空间；
〔2〕非零线性泛函是不连续的充要条件是在中稠密。
证明：〔1〕必要性：设是上的线性泛函，又设，由的连续性可得。因此，，所以是的闭子空间。
充分性：设是闭集，如果不是有界线性泛函，则对每个自然数，必有使得。
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令，则，即，并且
即。但是，，从而。这和是闭集矛盾。因此，是有界的。
〔2〕必要性：设是连续的，，从而存在，但，对，显然有
并且，所以在中稠密。
充分性：假设是连续的，由在中稠密可知，对，存在，使，从而
这与假设非零矛盾。证毕。
我们现在考虑由赋范线性空间到赋范线性空间的有界线性算子的全体的性质。
对任意，规定
显然，及都是线性算子，称为与的和，为与的积，易验证按这两种运算是一个线性空间，不仅如此，对每个有界线性算子，算子范数还满足三个条件：
〔1〕，假设，则对一切，即；
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〔2〕；
〔3〕。
因此，是一个赋范线性空间，我们称其为有界线性算子空间，简称线性算子空间。
一般说来，不一定是完备的，但是我们有如下的定理：
[] 设是完备的赋范线性空间，则是完备的。
证明：如果设为一Cauchy列，即

则对，必有
这说明是中的Cauchy列，由的完备性，在中存在惟一的一个元，记为使得。
于是，就是从到的一个算子，其线性可由的线性推得。
又由于
因而知数列收敛，即有数使得，由此推得
故为有界线性算子，即。
由于，故对，存在自然数，使得时，有。于是有。
固定，令，可得出。
又由于，因而有，且由以上不等式可推出
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即，所以空间是完备的。证毕。
注：赋范线性空间上的有界线性泛函全体按前面所引入的运算与所规定的范数
构成一个Banach空间，称之为的共轭空间，记作。

，证明：是的闭子空间。
，证明：复合算子满足。
3.，定义为及为。
〔1〕问与可交换吗？〔即是否成立？〕
〔2〕求及。
，范数为
给定无穷矩阵，满足，定义算子为，其中，且
证明：，且。
，在上定义范数
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矩阵定义算子为
证明：。
，即对任意有，证明：必为，其中为常数。
7. 设和都是Banach空间，且是满射，证明：对中任意稠密子集，成立。
，，且，定义
为的次复合，为单位算子，证明算子级数在中收敛，且〔零算子〕。
共鸣定理及其应用
许多数学问题的研究都涉及有界