文档介绍：平面向量的数量积
【学****目标】
理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断
a b
r r
r
r
a b a b
要点四：向量数量积的运算律
r r r r
交换律： a b b a
2.
r
r
r
r
r
r
数乘结合律：
a
b
a
b
a
b
r
r
r
r
r
r
r
3.
分配律： a
b
c
a
c
b c
要点诠释：
r
r
r
r
r
r
1.
已知实数 a、 b、c(b ≠0) ，则 ab=bc
a=c. 但是 a b
b
c
a
c ；
r
r r
r
r
r
2.
在实数中，有 (a b)c=a(b
c) ，但是 a b c
a
b c
r
r
显然，这是因为左端是与
c 共线的向量，而右端是与
a 共线的向量，而一
r
般 a 与 c 不共线 .
要点五：向量数量积的坐标表示
r
r
r r
1. 已知两个非零向量 a
( x1 , y1 ) ， b
( x2 , y2 ) ， a b x1 x2 y1 y2
r
r
x2
r
x2
y2
2. 设 a
( x, y) ，则 | a |2
y2 或 | a |
r
3. 如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) ， 那 么
r
2
( y1 y2 )2 ( 平面内两点间的距离公式 ).
| a | ( x1 x2 )
要点六：向量在几何中的应用
证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行( 共线 ) 的充要条件
a// b a b (b 0) ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )
证明垂直问题，常用垂直的充要条件
r r r r
a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0
求夹角问题．
r
r
r
r
r r
由向量 a ， b 数量积可知，若它们的夹角为
，则 a b
| a || b | cos
，
r
r
利用 cos
a
b
x1 x2
y1 y2