文档介绍：斯托克斯(Stokes)公式
环量与旋度
第七节
第十章
一、斯托克斯公式
二、环量与旋度
三、空间曲线积分与路径无关的条件
★
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线：
的正向与的侧符合斯托克斯(Stokes)公式
环量与旋度
第七节
第十章
一、斯托克斯公式
二、环量与旋度
三、空间曲线积分与路径无关的条件
★
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线：
的正向与的侧符合右手法则，如图.
是有向曲面的
正向边界曲线
右手法则
精品资料
你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？
教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面,
如果函数
一阶连续偏导数, 则
或
斯托克斯公式
将斯托克斯公式分为三式
首先证明第一式.
证明思路:
第二类曲面积分
第一类曲面积分
二重积分
第二类曲线积分
第二类曲面积分
证
方向为上侧
与平行 z 轴的直线
只交于一点,
注
同理可证其余二式:
三式相加可得
(2)
曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,
则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交
在每一部分上应用斯托克
由于沿辅助曲线方向相
所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立.
于一点的几部分,
然后相加,
斯公式,
反的两个曲线积分相加刚好抵消,
注
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.
1º 斯托克斯公式的实质:
2º 斯托克斯公式便于记忆的形式:
或
cos cos cos
dS
3º 斯托克斯公式是格林公式的推广
斯托克斯公式
格林公式
特殊情形
是xOy面上的有向闭区域时
x
y
z
O
= L
x
y
z
O
= L
D
这正是格林公式.
4°何时采用斯托克斯公式？
的积分曲线的参数方程不易写出，或用直接法计算较繁时，可考虑用斯托克斯公式.
在斯托克斯公式中，是以为边界的任意分片光滑曲面(只要P，Q，R在包含的一个空间区域内具有一阶连续的偏导数即可).
5º 如何选取 ？
通常，取为平面或球面等法向量的方向余弦易求的曲面.
利用斯托克斯公式计算
例1
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形
的整个边界,
它的正方向与这个三角形上侧的法向
量之间符合右手规则.
记三角形域为,
取上侧,
解
利用轮换对称性
利用斯托克斯公式计算曲线积分
例2
解
为柱面
与平面 y = z 的交线从 z
轴正向看为顺时针, 计算
解(方法1)
则其法线方向余弦
例3
设为平面 z = y 上被 所围椭圆域且
取下侧,
(方法2)
将：
参数化：
二、环量与旋度
定义 向量场
称为
注
改变Γ的环行方向时,环量要变号.
1. 环量
为
定义
当函数
一阶连续偏导数时, 称向量
2. 旋度
由哈密尔顿算符的定义
注
3º 利用旋度, 可将斯托克斯公式写为
4º 斯托克斯公式的物理解释:
等于向量
1º
2º
设某刚体绕定轴 l 转动,
M 为刚体上任一点,
建立坐标系如图,
则
角速度为,
点 M 的线速度为
5º 旋度的力学意义
线速度场中任一点处的旋度等于刚体旋转角速度的2倍，
这就是“旋度”一词的由来.
除去一个常数因子2外，恰好等于物体旋转的角速度.
.
M
根据斯托克斯公式和积分中值定理
.
M
称环量对面积的变化率
向量场的旋度是一个向量,
此向量的方向是使方向
旋量取最大值的方向,
此方向的模是该点处最大
方向旋量的值.
三、空间曲线积分与路径无关的条件
连续偏导数
设空间闭区域G是一个一维单连通域,
要条件是
即
★
G内的任一闭曲线总可张一片完全含于G内的曲面
注
当
成立时
或用定积分表示为
例4
与路径无关, 并求函数
解 令
验证曲线积分
积分与路径无关,
因此选择特殊路径
例5
求电场强度
的旋度 .
解
(除原点外)
这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.
保守场：
而
与从 A 到 B 的路径无关.
内容小结
1. 斯托