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线性代数复习要点
第一部分 行列式
1. 排列的逆序数
2. 行列式按行（列）展开法则
3. 行列式的性质及行列式的计算
行列式的定义
行列式的计算：
①(定义法)
阵
初等矩阵的逆
初等矩阵的行列式
()
()
()
☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘；
对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.
注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.
矩阵的秩关于矩阵秩的描述：
①、，中有阶子式不为0，阶子式 (存在的话) 全部为0；
②、，的阶子式全部为0；
③、，中存在阶子式不为0；
☻矩阵的秩的性质：
①≥; ;≤≤
②
③
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④
⑤≤
⑥若、可逆，则； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦ 若；
若
⑧等价标准型.
⑨≤, ≤≤
⑩,
☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法
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6 矩阵方程的解法()：设法化成
第三部分 线性方程组
1. 向量组的线性表示
2. 向量组的线性相关性
3. 向量组的秩
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4. 向量空间
6. 线性方程组的解的结构（通解）
（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）
（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）
线性表示：对于给定向量组，若存在一组数使得，
则称是的线性组合，或称称可由的线性表示.
线性表示的判别定理:
可由的线性表示
由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：
①、有解
②、
③、（全部按列分块，其中）；
④、（线性表出）
⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）
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2. 设的列向量为,的列向量为，
则
，
为的解
可由线性表示.
即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵.
同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵.
即：
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线性相关性
判别方法：
法1
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法2
法3
推论
♣ 线性相关性判别法（归纳）
♣ 线性相关性的性质
零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）
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原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动）
两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.
向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.
若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
4. 最大无关组相关知识
向量组的秩 向量组
矩阵等价经过有限次初等变换化为.
向量组等价和可以相互线性表示. 记作：
矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.
行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系
向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.
向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.
向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；
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.
向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.
若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
设是矩阵,若，的行向量线性无关；
5. 线性方程组理论
线性方程组的矩阵式向量式
其中
（1）解得判别定理
（2）线性方程组解的性质：
(3) 判断是的基础解系的条件：
①线性无关；
②都是的解；
③.
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