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线性代数知识点总结
1 行列式
〔一〕行列式概念和性质
1、逆序数：所有的逆序的总数
2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：〔用于化简行列式〕
〔1〕行列互换〔转置〕，行列式的值不变
〔2〕的内积：〔α，β〕=αTβ=βTα
2、长度定义： α
3、正交定义：〔α，β〕=αTβ=βTα1b12b2+…0
4、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵， ←→ 1 ←→ → ±1
〔二〕线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件：
非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示
(1)←→非齐次线性方程组〔α1，α2，…，αs〕〔x1，x2，…，〕β有解。
★(2)←→r〔α1，α2，…，αs〕〔α1，α2，…，αs，β〕〔系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验
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〕
6、线性表示的充分条件：〔了解即可〕
假设α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，那么β可由α1，α2，…，αs线性表示。
7、线性表示的求法：〔大题第二步〕
设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。
〔α1，α2，…，αβ〕→初等行变换→〔行最简形|系数〕
行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0
〔三〕线性相关和线性无关
8、线性相关考前须知：
〔1〕α线性相关←→α=0
〔2〕α1，α2线性相关←→α1，α2成比例
9、线性相关的充要条件：
向量组α1，α2，…，αs线性相关
〔1〕←→有个向量可由其余向量线性表示；
〔2〕←→齐次方程〔α1，α2，…，αs〕〔x1，x2，…，〕0有非零解；
★〔3〕←→r〔α1，α2，…，αs〕＜s 即秩小于个数
特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关
〔1〕←→ r〔α1，α2，…，αn〕＜n
〔2〕←→|α1，α2，…，αn 0
〔3〕←→〔α1，α2，…，αn〕不可逆
10、线性相关的充分条件：
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〔1〕向量组含有零向量或成比例的向量必相关
〔2〕局部相关，那么整体相关
〔3〕高维相关，那么低维相关
〔4〕以少表多，多必相关
★推论：1个n维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组α1，α2，…，αs 线性无关
〔1〕←→任意向量均不能由其余向量线性表示；
〔2〕←→齐次方程〔α1，α2，…，αs〕〔x1，x2，…，〕0只有零解
〔3〕←→r〔α1，α2，…，αs〕
特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn 线性无关
←→r〔α1，α2，…，αn〕 ←→|α1，α2，…，αn |≠0 ←→矩阵可逆
12、线性无关的充分条件：
〔1〕整体无关，局部无关
〔2〕低维无关，高维无关
〔3〕正交的非零向量组线性无关
〔4〕不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关判定
〔1〕定义法
★〔2〕秩：假设小于阶数，线性相关；假设等于阶数，线性无关
【专业知识补充】
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〔1〕在矩阵左边乘列满秩矩阵〔秩=列数〕，矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。
〔2〕假设n维列向量α1，α2，α3 线性无关，β1，β2，β3 可以由其线性表示，即〔β1，β2，β3〕=〔α1，α2，α3〕C，那么r〔β1，β2，β3〕〔C〕，从而线性无关。
←→r〔β1，β2，β3〕=3 ←→ r〔C〕=3 ←→ ≠0
〔四〕极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一
15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩
比照：矩阵的秩:非零子式的最高阶数
★注:向量组α1，α2，…，αs 的秩与矩阵〔α1，α2，…，αs〕的秩相等
★16、极大线性无关组的求法
〔1〕α1，α2，…，αs 为抽象的：定义法
〔2〕α1，α2，…，αs 为数字的：
〔α1，α2，…，αs〕→初等行变换→阶梯型矩阵
那么每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
〔五〕向量空间
17、基〔就是极大线性无关组〕变换公式：
假设α1，α2，…，αn 与β1，β2，…，βn 是n维向量空间V的两组基，那么基变换公式为〔β1，β2，…，βn〕=〔α1，α2，…，αn〕×n
其中，C是从基α1，α2，…，αn 到β1，β2，…，βn 的过渡矩阵。
〔α1，α2，…，αn〕-1〔β1，β2，…，βn〕
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18、坐标变换公式：
向量γ在基α1，α2，…，αn与基β1，β2，…，βn 的坐标分别为〔x1，x2，…，〕T，〔y1，y2，…，〕T，，即γ1α1 + x2α2 + … αn 1β1 + y2β2 + … βn，那么坐标变换公式为或1x。其中，C