文档介绍：第四章矩阵分析及矩阵函数
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矩阵分析
令 是 的矩阵序列，假如存在一个 的矩阵A， ，即当 时， 与 无限制的靠近,则称序列收函数关于矩阵的微分
在场论中，对数量函数 ,定义梯度
如 下：
可以理解为函数 对向量 的
导数。
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设 对
有偏导数，定义 对向量
导数为
对向量 的导数为
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一般地，假如
对每个 都有偏导数，则定义数量函数
对矩阵 的导数为
例
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矩阵函数的定义及性质
矩阵函数
设一元函数 能够展开为
的幂函数
其中 表示该幂级数的收敛半径.
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当n阶矩阵 满足 时，把收敛的矩阵幂级数 的和称为矩阵函数，记为 ,即
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如下函数:
在整个复平面上都是收敛的.
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于是矩阵幂级数
都是绝对收敛的。
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因此它们有和并且有
分别称以上三式是矩阵的指数函数，
余弦函数和正弦函数。
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对于方阵 的函数
容易验证以下性质：
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值得注意的是，在微积分中，我们对指数函数有如下性质 , 但矩阵函数的第（3）条性质中指出，这样一条性质必须 有条件保证。否则，一般不成立。
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例如，令
易证 互不相等
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矩阵函数的计算
待定系数法
用待定系数法，计算矩阵函数 是基于每个矩阵 存在最小多项式的前提下进行的，假设A∈ 的最小多项式是
（）
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多项式 可以写成 ，
其中 的次数低于 的次数。由于
有 ，所以 。
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另一方面，我们可以将A的最小多项式()写成
()
其中 是A的互异的特征值
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在A的谱上确定: 设A的最小多项式是 ，如()所示，如果复
函数 在A的谱 上有下述确定
的值。
（）
称 在A的谱上确定，并称() 中的 r个数为 在A的谱上的值。
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推论1 每个复多项式 在任何 的谱上确定。
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例 例
例 例
设 和 是两个复多项式，两者的次数和系数均可以不同, ，则 的充分必要条件是 和
在A的谱上的值完全相同。
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利用Jordan标准形计算矩阵函数
实际过程中，可以将无穷级数求和的问题化为多项式求和问题。
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假设 矩阵A的最小多项式是
则有
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当 时，
可降为低于 的幂次，
矩阵多项式问题
幂级数定义的矩阵函数问题
计算 的关键：计算 。
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下面分A是不同情况进行讨论
(1)A是对角矩阵
设
则
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(2)A是对角形分块矩阵
其中 为A的子方阵
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由于分块矩阵的乘积与矩阵乘积类似故对于上述分块矩阵A，有
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(3)A为一般矩阵时 的计算方法
存在方阵 使