函数的周期性和对称性.doc

文档介绍：...wd...
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第5炼 函数的对称性与周期性
一、根底知识
〔一〕函数的对称性
1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴〔或对称中心〕对称
2、轴对展调整，考虑利用奇偶性进展微调
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：，所以
答案：
例2：定义域为的函数满足，当时，，那么〔 〕
A. B. C. D.
思路：由，可类比函数的周期性，所以考虑将向进展转化：
答案：D
小炼有话说：虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向范围进展靠拢。
例3：定义在上的函数对任意，都有，那么等于〔 〕
A. B. C. D.
思路：由及所求可联想到周期性，所以考虑，所以是周期为4的周期函数，故，而由可得，所以
答案：D
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例4〔2009山东〕：定义在上的函数满足，那么的值为〔 〕
A. B. C. D.
思路：所给的特点为才有解析式能够求值，而只能通过减少自变量的取值，由所求可联想到判断是否具有周期性，时，，那么有，两式相加可得：，那么，即在时周期是6，故
，而
答案：C
小炼有话说：〔1〕此题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而数较大，所以考虑判断函数周期性。
〔2〕如何快速将较大自变量缩至范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。那么被除数的函数值与余数的函数值一样，而商即为被除数利用周期缩了多少次到达余数。例如此题中，从而
〔3〕此题推导过程中也有其用处，其含义是间隔为3的自变量函数值互为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进展“微调〞从而将自变量放置区间内
例5：函数是周期为的偶函数，当时，，那么不等式在上的解集为___________
思路：从出发可知时，为增函数，且，所以时，，时，，由偶函数可得：时，，时，。从而可作出草图。由所解不等式
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可将分为两局部，当时，，所以，当时，，所以，综上解集为：
答案：
例6：是定义在上的函数，满足，当时，，那么函数的最小值为〔 〕
A. B. C. D.
思路：由可得是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。由可得为奇函数，所以考虑区间，在时，，所以，而由于为奇函数，所以在时，，所以即为在的最小值，从而也是在上的最小值
答案：B
例7：定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，如果，且，那么的值〔 〕
A. 可正可负 B. 恒大于0 C. 可能为0 D. 恒小于0
思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而可得，因为，所以，进而将装入了中，所以由可得，下一步需要转化，由可得关于中心对称，所以有。代入 可得，从而
思路二：此题运用数形结合更便于求解。先从分析出关于中心对称，令代入到可得
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。中心对称的函数对称区间单调性一样，从而可作出草图。而，即的中点位于的左侧，所以比距离更远，结合图象便可分析出恒小于0
答案：D
小炼有话说：〔1〕此题是单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系，与所求函数值关系，而连接它们大小关系的“桥梁〞是函数的单调性，所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系
〔2〕数形结合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点，不仅仅是单调性一样，而且是呈“对称〞的关系，从而在图像上才能看出的符号；第二个是，进而可知；第三个是，既然是数形结合，那么题中条件也要尽可能转为图像特点，而表现出中点的位置，从而能够判断出距离中心对称点的远近。
例8：函数的定义域为，假设与都是奇函数，那么〔 〕
A. 是偶函数