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第三章 三角函数、解三角形
第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
任意角的概念
定义：角可以看成平面内的一条射线绕着□ 01过点
(4 ，－ 3)
，那么 2cos
θ
－sin
θ
＝ ________.
P
答案
11
5
因为 r ＝ | OP| ＝
2
2
4
3
解析
4
＋ － 3
＝ 5，所以
cos θ＝5， sin θ＝－ 5，所以 2cos
θ
.专心 .
.
4
3
11
－sin θ＝2× 5－ －
5
＝ 5 .
题型 一 象限角与终边相同的角
1．(2018 ·长春一模 ) 若角 α 的顶点为坐标原点， 始边在 x 轴的非负半轴上， 终边在直
线 y＝－
3x 上，则角 α 的取值集合是 (
)
π
2π
A． { α α＝ 2kπ－ 3 ， k∈ Z
B． { α α＝ 2kπ＋ 3 ， k∈ Z
2π
π
C． { α α＝ kπ－ 3 ， k∈ Z
D． { α α＝ kπ－ 3 ， k∈Z
答案
D
因为直线 y＝－ 3x 的倾斜角是
2π
y＝－
3x 上的角的取
解析
3 ，所以终边落在直线
π
值集合为 { α α＝ kπ－ 3 ，k∈ Z
，故选 D.
2．与 2019°的终边相同，且在
0°～ 360°内的角是 ________．
答案
219°
解析 因为 2019°＝ 5×360°＋ 219°，所以与 2019°终边相同的角可表示为 k·360°
＋219°(k∈ Z) ．其中在 0°～ 360°内的角是 219°.
α
3．若角 α 是第二象限角，则 2 是第 ________象限角．
答案 一或三
解析 因为角 α 是第二象限角，
π
所以 2kπ＋ 2 <α<2kπ＋π， k∈Z，
π α π
所以 kπ＋ < <kπ＋ ，k∈ Z.
4 2 2
α
所以 是第一或第三象限角．
2
1．象限角的两种判断方法
图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
.专心 .
.
(2) 转化法：先将已知角化为 k·360°＋ α(0 °≤ α<360°， k∈ Z) 的形式，即找出与
已知角终边相同的角 α，再由角 α 终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
2．表示区间角的三个步骤
先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
(2) 按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－ 360°～ 360°范围内的角 α 和 β ，
写出最简区间．
起始、终止边界对应角 α，β 再加上 360°的整数倍，即得区间角集合．如举例说明 3 中角 α 的表示方法 .
已知 α 是第二象限的角，则 180°－ α 是第 ________象限的角．答案 一
解析 α 的终边与－ α 的终边关于 x 轴对称，－ α 的终边逆时针旋转 180°得 180° －α 的终边，所以由 α 是第二象限角可知， 180°－ α 是第一象限角 .
在－ 720°～ 0°范围内所有与 45°终边相同的角为 ________．
答案 －675°或－ 315°
解析 与 45°终边相同的角可表示为 α＝k·360°＋ 45°(k∈ Z) ，当 k＝－ 1 时， α
＝－ 360°＋ 45°＝－ 315°； 当 k＝－ 2 时，α＝－ 720°＋ 45°＝－ 675°， 所以在－ 720°～0°范围内所有与 45°终边相同的角为－ 675°或－ 315°.
3. 已知角 α 的终边在如图所示阴影表示的范围内 ( 不包括边界 ) ，则角 α 用集合可表
示为 ________．
π
5π
答案