文档介绍：矩阵分析与应用
第七讲范数理论及其应用之一
信息工程学院
吕旌阳
2006-12-1
本讲主要内容
向量范数及lp范数
2006-12-1
定义:如果V是数域K上的线性空间,且对于V的任
一向量x,对应一个实数值x ,满足以下三个条件
1) 非负性:x ≥ 0, 且 xx= 00⇔=
2) 齐次性: kx= ki x, ∀∈ k K
3) 三角不等式: x + yxy≤+
则称x 为V上向量x的范数,简称为向量范数。
注意:2)中当k K 为实数时为绝对值,
当K 为复数域时为复数的模。
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向量的范数具有下列简单性质:
1 11
(1) 当时,x ≠ 0 x = 1 ∵ xx= = 1
x xx
(2) ∀ x ∈ V , − x = x ∵−=−xxx1 =
(3) ∀ x , y ∈ V ,x − y ≤ x − y
∵ xxyyxyy=−+≤−+() ⇒−≤−xyxy
(4) ∀ x , y ∈ V , x − y ≤−x y
xxyyxyy= ()−+≤−+ ⇒−≤−xyxy
同样 y − xyxxy≤−=−
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n T n
例1:线性空间C ,设 xxxx= ( 12,,,
n ) ∈ C
x = ξ
1:1 ∑ i 是一种向量范数,记为1-范数
2:xxx= (), 是一种向量范数,记2-范数
xx= max i 是一种向量范数记为∞范数
3: i , -
1
n
p p
4: xx=≤<∞1 p
p ∑ i ()
i=1
是一种向量范数,记为p-范数或 l p 范数
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1
n
p p
证明:向量p -范数 xx= 1 ≤<∞ p
p ∑ i ()
i=1
证:性质(1)、(2)显然是满足的
设 xy==()ξ12,,,ξξ
nn , ηηη( 12 ,,,) ,则
px= 1: +=y ξ+≤ηξη+=x +y
111∑ ii∑ i i
pxy>+=1: θ时,结论成立; xy+ ≠θ时,应用Holder不等式
11
pqpq 11
abii≤( a i( b) i (1,1, p>>) q += 1)
∑∑∑ pq
(利用()pqp−=1 )
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n n
p p p−1
xy+=+ξη=++ξηξηi
()p ∑ ii ∑( iiii)
i=1 i=1
11
nn pq
pp−11− ab≤ apq b
≤+++∑∑ξξii ηηξ i η ii i ∑∑∑ii( i( ) i )
ii=11=
1111
nnPP
PpPp−−11qqqq
≤+++∑∑ξξηiiiiii( ∑∑) ηξη( )
ii==11
11
pp
≤+++xyξηξηqq11p −
pp(∑∑ii) ( ii) =
qp
p−1
=+xyxy +
( pp)( p)
因此: xy+≥+ xy
()pp p
1
n
p p
所以 xx= 1 ≤<∞ p
p ∑ i ()是向量 x 的范数
i=1
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n
例2:线性空间V 中,任取它的一组基 xx1 ,,
n
则对于任意向量x,它可以表示为
xx= ξ11++
ξnn x
T n
与α=∈(ξξ1 ,,
n ) C 是同构的
x = α n
所以pp 是V 中元素x的p-范数
例3: Cab [,] 为闭区间[,]ab 上的所有实连续函数所成
线性空间,可以验证以下定义式均满足范数条件
b
fx()= fxdt () f ()xfx= max()
1 ∫a ∞ tab∈[,]
1
b p
fx()=<<∞ fx () dtp ,1 p
p (∫a )
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例4:设A为n阶实对称正定矩阵,对x∈Rn,
12
定义xxAx= T 称为加权范数或椭圆范数
A ()
xxxx= 00;00⇔= ≠⇔≠
由正定矩阵定义可知 AA
对任意数α∈ R ,有
T T
α xxAx= αα= α 2 xAxT = α x Ax = α x
A () A
由 A正定且实对称⇒∃正交矩阵Q,使得
T
QAQdiag= (,λ1
,λλni ),>= 0,1,, i n
T T