文档介绍：矩阵分析与应用
第八讲范数理论及其应用之二
信息工程学院
吕旌阳
2006-12-1
本讲主要内容
矩阵范数
从属范数
范数的应用
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定义:矩阵空间C mn× 中,∀∈A C mn× ,
定义实数值A ,且满足以下条件
1)正定条件:A ≥ 0, 且 AA= 00⇔=mn×
2)齐次条件: kA= ki A, ∀∈ k K
3)三角不等式:AB+ ≤+ A B, BC ∈mn×
则称A 为A的广义范数。
mn××, nl 及C mn× 上的同类广义矩阵范数有
4)相容条件: ABABBC≤, ∈ nl×
则称A 为A的范数。
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定义:设C mn× 的矩阵函数A ,C m 与C n 中的
M
x AxAx≤
同类范数V ,若 VMV
A x
则称矩阵范数M 与向量范数V 相容
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T
例1、设Aa=∈= Cmn× ,,, x(ξ
ξ) ,证明
( ij)mn× 1 n
n
A = a 是矩阵函数,且与x 相容
m1 ∑ ij 1
ij,1=
证明:(1)~(3)显然成立,
m m
Ax=++ aξ
a ξ≤++aaξ
ξ
1 ∑ iinn11 ∑()iinn11
i=1 i=1
m
≤++++aa
ξξ
∑()iinn11()
i=1
m
= A x
=++++∑()aaiinn11()ξξ m11
i=1
A x
因此,m1 与1 相容。
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(4)证明相容性
划分Bbbnl× = ()1 ,
l ,则ABAbAb= ()1 ,,
l ,且有
ABAbAb= ++
m111 l 1
≤ A bAb++
mm111 11l
=++A bb
m11( 1 l 1)
= A B
mm11
n
A = a 是矩阵函数,且与x 相容
因此, m1 ∑ ij 1
ij,1=
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T
例2、设Aa=∈= Cmn× ,,, x(ξ
ξ) ,证明
( ij)mn× 1 n
A = naimax ij 是矩阵函数,且与x 相容
m∞ ij, ∞
证明:(1)~(3)成立,设Bb= ,则
( ij )nl×
n n
i
ABl= max abik kj ≤ labimax ik kj
m∞ ij, ∑ ij, ∑
k=1 k=1
≤ lniimax a b
()ik kj ≤ nalbiiimaxij max ij = A B
ij, ( ij,,)( ij ) mm∞∞
n n
Ax= max a ξ
∞∑ ik k ≤ max aikξ k
i i ∑
k=1 k=1
n
A x
≤ maxaiki max ξ i ≤(naiimaxik) max ξ i =
ii∑ ii m∞∞
k=1
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T
例3、设Aa=∈= Cmn× ,,, x(ξ
ξ) ,证明
( ij)mn× 1 n
1
nn
2 2
Aa= 是矩阵函数,且与x 相容
m2 ∑∑ ij 2
ij==11
Bb=
证明:(1)~(2)成立, ( ij )nl×
A = aaBbb,,
,= ,,
设 Bmn× ,划分( 11nn) ( ) ,则有
22 2
A +=++++Bab
ab
m2211 nn 2
22
≤+ab +++
ab
( 1122) ( nn 2 2)
22
≤+A 2 ab ++
ab + B
mm222222()11 nn
11
2222 2
≤+A 2 abB22 +=+AB
mm2222(∑∑ii( ) ) ( mm22)
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n
AB= a b
设 Bnl× , ∑ ik kj ,则有
k=1 ml×
2
2 nn
nn
ab
ABab= ≤∑∑ik kj
m2 ∑∑ ik kj ij,1== k 1
ij,1== k 1
nn n nn nn
2 2 2 2
abi
≤∑∑ik ∑ kj ≤∑∑abiki ∑∑ kj
ij,1== k 1 k = 1 ik==11 jk == 11
nn