文档介绍：矩阵分析与应用
第十讲矩阵分析及其应用之二
信息工程学院
吕旌阳
2006-12-1
本讲主要内容
矩阵函数的值的计算(续)
矩阵函数的一般定义
矩阵函数的性质
矩阵的微分和积分
2006-12-1
. 数项级数求和法。数项级数求和法。
利用首一多项式ψ(λ) ,且满足ψ(A) = 0 ,即
mm−1
AbA+ 11++
bAbImm−+ =0
mm(0) (0) (0)− 1 (0)
或者 AkIkA=+++01
kAmimi−− 1 ( k =− b)
mm+1 (1) (1) (1) m− 1
可以求出 A = AA=+++ k01 I k A
km− 1 A
…
ml+ () l () l () l m− 1
A = kI01+++ kA
km− 1 A
…
∞
km−1
于是 fA()= ∑ cAkm=+++() cIcA01
c− 1 A +
k=0 (0) (0) (0)m− 1
ckIkAmm( 01+ ++
kA− 1) +
∞∞∞
()ll () () lm− 1
=+kAc0011∑∑ml++−+−++ ml ++
m 1 + ∑ ckA ml m 1
ll==00 l = 0
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π 000
−π 00
例7: A = ,求
01 sin A
0
解:ϕ()λλ= IA−= λπλ422 −, 取ψ(λϕλ) = ( )
ψ()A =⇒0,AA422 =π A523= π A , AA743= π,
111
sin AA=+−− A357 A A+
3! 5! 7!
24
1 ππ 3
=+−A ++−
A
3! 5! 7! 0000
1 3 1 3 000
=+A []sinππ− A =−A A =
π 3 π 2 01
333 0
∵ A =−diag(ππ, ,0,0)
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. 对角阵法对角阵法
−1 kk−1
设,则PAP==Λdiag(λ1 ,
,λn ) A = PPΛ,
NN
且有 kk−1
∑∑cAkk=Λ P c P
kk==00
NN
kk−1
= P diag∑∑ccPkknλλ1 ,
,
kk==00
于是
∞
k −1
fA()==∑ cAkn Pi
i diag(() fλλ1 ),,( f ) P
k=0
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例8: P −1 AP = Λ:
λ
λ
e A = Pi
idiag(eeP1 , , n ) −1
λ
t λ t
eeePtA = Pi
idiag( 1 , , n ) −1
−1
sinsA = Pi
idiag( sinλ1 , , inλn ) P
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−1 (1)
设 P AP== Jdiag( J1 ,
, J s ) , JIIi = λ1 +
()m
易证 II()kkk (1)= II (1)()== I (+ 1), Ii O
kk11(1) k− k−− 1 (1)() k k
km≤−iiiki1: J =λ IC +λλ I ++
C ki I + I
kk11(1) k− mkmmiii−11(1)−+ −
kmJ≥=+++ii: λλ i IC ki I λ
C k i I
λ(1)m −
∞ ff′(λλ) i ( )
k ii(1) (1)mi −
fI()Jcfi = ∑ kiJII= i +++ ()
k=0 1! (mi − 1)!
∞∞
kk−1 −1
fA()==∑∑ cAkk Pii cJP= Pi
idiag( f(),,() J1 f Js ) P
kk==00
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三、矩阵函数的一般定义三、矩阵函数的一般定义
k
展开式fz()= ∑ czk ,,0( z<> rr ) ,要求
()k
(1)存在f ()0 (k = 0,1,2,
)
(1)k+
f (ξ) k+1
(2) limz = 0 ()zr<
k→∞(1)!k +
1
对于一元函数fz()= 等,还不能定义矩阵函数。
z
基于矩阵函数值的Jordan标准形算法,拓宽定义
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