文档介绍：第五章  矩阵分析 
重点:矩阵函数,矩阵在微分方程中的应用 
  向量和矩阵的极限 
    定义 1  设  ,若,则称向量列
按范数收敛到,记为,或者。 
设  ,若,则称矩阵列按
范数收敛到,记为,或者。 
注:上述收敛性与范数的选取无关,且等价于按分量(元素)收
敛。 
性质: 
1 若,则对任何向量范数, 有界。 
若,则对任何矩阵范数, 有界。 
2 若
,则。 
若,
,则。 
3 若,则。 
4 若且存在,则。 
5  若,且所用矩阵范数与向量范
数相容,则
证明  1、2 是线性运算关于范数连续的体现。3 是矩阵乘法运算
对范数连续的结果(矩阵范数相容性)。4 
。5 矩阵范数与向量范数相容的结果。 
命题 1  设矩阵范数是与向量范数相容,则. 
证明   
定理 1  对任意,存在算子范数,使得. 
证明  取可逆阵将化成若当标准型 
   
令,则 
对任意,定义,则可直接验证是
一个方阵范数. 对此方阵范数, 有
定理 2  设,则以下三条等价 
(1)  ;   (2)  ;   (3)  存在范数,使得. 
证明  (1)  (2)  ,所以 
(2)  (3)  由定理 1 立得.(3)  (1)  . 
  函数矩阵的微分和积分 
定义 1  函数矩阵的微分和积分按其元素进行. 
例 1  ,则 
 
性质: 
1   
 
2   
 
 
3   
4  是纯量函数,  
5   
注:   
例 1  求的导数. 
解
. 
  方阵的幂级数 
方阵级数 
定义 1  , 称方阵级数,所,则
称方阵级数收敛,称为该方正级数之和,记为. 
若正项级数收敛,则称方阵级数绝对收敛. 
性质:  
1  方阵级数绝对收敛等价于其元素级数绝对收敛. 
2  方阵级数绝对收敛,则方阵级数收敛. 
3  方阵级数( 绝对) 收敛, 则方阵级数
( 绝对) 收敛, 且
 
4 方阵级数(绝对)收敛,则(绝对)收敛,且
. 
方阵幂级数 
, 称方阵的幂级数. 
定理 1  设幂级数的收敛半径为, ,则 
(i)  当时,  绝对收敛. 
(ii)  当时,  发散. 
证明  (i)  取使得, 取范数使得
,从而,所以
绝对收敛. 
(ii)  由谱半径的定义,存在,若收
敛,则也收敛,  这与的收敛半径为矛盾. 
也收敛性的证明:  取的相应于的单位特征向量,即
. 注意到
,所以收敛. 
推论 1 设幂级数的收敛半径为, ,则 
(i)  若的特征值满足,则矩阵幂级
数绝对收敛。 
  ( ii )若有一个特征值满足,矩阵幂级数
发散。 
推论 2  若幂级数在上收敛,  则,
绝对收敛 
  方正函数 
若函数在处可展开为幂级数,其收
敛半径为, 则对, 当的特征值满足
,则定义。 
常用的方阵函数 
1  矩阵指数函数    
2  矩阵正弦函数    
3  矩阵余弦函数
方阵函数的计算 
定理 1  若,则 
 
特别的,若,则 
 
若,则 
 
定理 2  设, 的最小多项式为
,其中,   
。令使得 
  即 
   
则 
例 1  设,  求 
解
令,则,  
所以,  
例 2 设,  求 
解  由例 1 知道, 
 
例 3  设,计算 
解  由
,从而
的最小多项式为 
 
(1) 设,由线性方程组 
   
可解得 
   
所以
(2) 设,由线性方程组