复变函数总结.doc

文档介绍：复变函数总结
复数与复变函数
复数几种表示
代数表示
几何表示：用复平面上点表示
（复数、点、向量视为同一概念）
三角式：
指数式 ：
辐角


复变函数总结
复数与复变函数
复数几种表示
代数表示
几何表示：用复平面上点表示
（复数、点、向量视为同一概念）
三角式：
指数式 ：
辐角



乘幂与方根
（1）乘幂： ，
（2）方根：
解析函数
连续、导数与微分概念类似于一元实变函数
求导法则与一元实变函数类似
函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导
或
定义：


性质：周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样
各种三角公式、求导公式照搬
注：的有界性 保护成立。
复变函数的积分
复积分
（c的正向为逆时针方向）
计算方法：
（1）第二类曲线积分计算
（2）化为普通定积分


重要结果：
（n为任意整数）
二、柯西积分定理
定理1（柯西积分定理） 设在单连通区域D内解析，C为D内任意一条简单闭曲线，则
。
注：条件变为在单连通区域D内解析，在D的边界C上连续，结论成立，即 。
定理2 设在单连通区域D内解析，则积分与路径无关。
记积分为 ，或
原函数定义
结论：是的原函数。
（条件：是解析函数）
定理3 （闭路变形原理）（柯西积分定理推广到多连通区域）
是两条简单闭曲线，在内部，在所围区域D内解析，在上连续，则

注：定理3说明：区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内的连续变动而改变它的值。
柯西积分公式
定理1 （柯西积分公式）在简单闭曲线C上连续，C的内部解析（即单连通区域D内解析），是C的内部一点，则

注：（1）D为多连通区域时，公式仍 成立。
（2）提供了计算积分的一种方法。
推论1 （平均值公式）设在内解析，在上连续，则

定理2 （最大模原理）设在区域D内解析，又不是常数，则在D内没有最大值。
推论1 区域D内的解析函数，若其模在D内一点达到最大值，则此函数被常数。（定理2的逆否命题）
解析函数的高阶导数
定理1 （解析函数的高阶导数）设在简单闭曲线C所围的单连通区域D内解析，在C上连续，则的各阶导数均在D内解析，且对D内有
，或
注：由柯西积分公式求导即得。
解析函数的级数表示
数项级数，其中
定理 收敛的必要条件是
定理 收敛 与 均收敛
定理 收敛 收敛，称为绝对收敛
发散，收敛，称为条件收敛
幂级数
收敛半径 则
收敛圆
函数展开成泰勒级数（幂级数）
公式：1、，
2、，
3、，
，