文档介绍：))))))
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考研数学概率论辅导讲义
主讲：马超
第二章随机变量及其分布
第一节基本概念
1、概念网络图
；基本事件切—」随机事件A—:P(A)::随机变量X(
x—^x
1-e,
F(x)=1
I0,
x>0
x<0。
记住积分公式：
-be
xne^dx=n!
0
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正态分布
设随机变量X的密度函数为
13
f(x)=de^^",-g<x<+比，
<2ncr
其中N、仃>0为常数，则称随机变量X服从参数为卜、仃
的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X~N(^,0)。
f(x)具有如下性质：
。f(x)的图形是关于x=□对称的；
当x=R时，f(R)=^为最大值；
2v12ncr
若X~N(1，。)x,地要的分布函数为
F(x)(e2仃dt
参数卜-0、仃=1时的正态分布称为标准止态分布，记为
X~N(0,1),其密度函数记为
中(x)=4e2
42n,_妙<x<+s,
分布函数为
x-2
①(x)-s一Je2dt。
J2n皿
①(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
「1
①(-x)=1-①(x)且①(0)= 0
一一〃X-2
如果X~N(巴。2),则N(0,1)o
P(x<X<x)-G^^Ux^l
P(x］工X—x2)—I1o
(6)分位数
1口71口)
下分位表：P(XERo)=ot;
上分位表：P(XARQ=a。
(7)函数分布
离散型
已知X的分布列为
Xx1,x2,…，xn,…
P(X=xi)p1,p2,…，Pn，…
Y=g(X)的分布列(yi=g(xj互不相等)如下：
Yg(x1),g(x2)，…，g(xn),…
P(Y=yi)…...
若由某些g(xip相等,pl应将对,应白p,pi相加作为g(xi)的概率。
连续型
先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)<
y),再利用变上下限积分的求导公式求出fy(y)。
:4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(co)为“取白球的数”，求X的分布律。
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:给出随机变量X的取值及其对应的概率如下：
X|1,2,,k,
P11…1…，2"，，k",
3323k
判断它是否为随机变量X的分布律。
:设离散随机变量X的分布列为
X-1,0,1,2
P1111'
8,8,4,2
33
求X的分布函数，并求P(X<-),P(1<X<-),P(1<X<-)o222
:f［(x)+f2(X)是概率密度函数的充分条件是：
f1(x),f2(x)均为概率密度函数
0<f1(x)+f2(x)<1
：袋中装有“个白球及3个黑球，从袋中先后取a+b个球(放回)，试求其中含a个白球，b个黑球的概率(a<a,bwp)。
:某人进行射击，,若独立地射击5000次，试求射中
的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。
:设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过
,则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？
:袋中装有a个白球及3个黑球，从袋中任取a+b个球，试求其中含a个白球，b个黑球的概率(a<a,b<3)°
:袋中装有a个白球及3个黑球，从袋中先后取a+b个球(不放回)，试求其中含a个白球，b个黑球的概率(a<a,b<3)°
：袋中装有a个白球及3个黑球，从袋中先后取a+b个球(放回)，试求直到第a+b次时才取到白球的概率(a<a,b<3)°
：4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令X(co)为“抽取次数”，求X的分布律。
:5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？
①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。
:若随机变量X服从［1,6］上的均匀分布，求方程x2+Xx+1=0有实根的概率。
2
x
:设非负随机变量X的密度函数为f(x)=Ax7e2,x>0,则A=。
：设X~N(N尸2),求P(|X—N|<3仃)。
:X~N(2,b2)且P(2<X<4)=,贝UP(X<0)=?
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