文档介绍：概率论与数理统计
第二章 随机变量及其分布
随机变量
随机试验 E 的样本空间Ω = {ω}，假设对任一 ω ∈Ω 都有实数 X(ω)与之对应，那么称为随机变量，简记为 X。
样本空间 对应 数轴
根本领件 对应 数轴上一个国数学家、物理学家和力学家。
泊松是 19 ，特别是用于统计方面的方法，建立了描绘随机现象的一种概率分布──“大数定律〞，并导出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分。他是从法庭审讯问题出发研究概率论的，1837 年出版了他的专著?关于刑事案件和民事案件审讯概率的研究?。
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2021/2/22
第二章 随机变量及其分布
例
盒中 12 只晶体管，2 只是次品。从中任取3 只，求次品数 X 的分布律。
2. 假设随机变量的分布律：
P(X = k) = k/n, k = 1,2,3,4,5. 那么 n =
P(X = k) = k/15, k = 1,2,3,4,5. 那么 P( < X < )=
P(X = k) = kp + (1 – k)(1 – p), 且P(X = 1) = 3P(X = 0) 那么p =
P(X = k) = Cλk / k! , k = 0,1,… , 那么 C =
～B(n,p), 且 P(X = 2) = 2P(X = 3) = P(X = 1)。求〔1〕n, p； 〔2〕 P(X = 4)
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第二章 随机变量及其分布
例
4. 某人射击命中率为 ，独立射击 500 次：至少命中 2 次的概率
5. 从发芽率为 的一批种子中任取 10 粒种子，求其发芽数不少于 8 粒的概率。
6. 交换机每分钟接到呼唤的次数 X ~ P(3)，求每分钟(1)恰有 3 次，(2)至少两次呼唤的概率
7. 随机变量 X ~ P(λ) 取到什么值的概率最大？
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第二章 随机变量及其分布
连续型随机变量
假设分布函数 F(x) 是一条连续曲线，那么 X 就是连续型随机变量。〔〕
分布函数 F(x) = P(X≤x)
f (x) 称随机变量 X 的概率(线)密度
连续、可导
令 x→+∞，那么有
概率密度
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第二章 随机变量及其分布
那么蓝条面积：
P(x < X < x + Δx) ～ f(x)Δx,
概率 ～ 连续曲线下面积
注意到 f(x) ≈
f(x) 表示单位线度上分布的概率，即概率线密度。
对于连续型随机变量：
P(X = a) = 0
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第二章 随机变量及其分布
密度函数与分布函数的关系：
容易证明
性质
计算概率
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第二章 随机变量及其分布
例
1. 随机变量 X 的概率密度，
求〔1〕P(1< X < 2), P(0 < X < 3)；
〔2〕X 的分布函数。
解：
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第二章 随机变量及其分布
例
2. 分布函数
求〔1〕常数 A；〔2〕P(X < 2), P(0 < X < 3), P(2 < x < );〔3〕概率密度 f(x)。
解：
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第二章 随机变量及其分布
例
3. 随机变量 X 的概率密度，
其中k ≠ 0 为常数, 求
〔1〕未知数 A；〔2〕概率 P( 0 < X < 1/k )。
解：
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第二章 随机变量及其分布
常见连续分布：
1. 均匀分布 X～U(a, b)
a = 0
b1 = 4
b2 = 6
b3 = 8
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第二章 随机变量及其分布
常见连续分布：
2. 正态分布 X～N(μ,σ2 )
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第二章 随机变量及其分布
常见连续分布：
标准正态分布
性质
查表 设 X ~ N(1,4), 求 P(X < –3)，P(|X| > 1)
P{X < – 3} = F( – 3) = Φ((–3–1)/2) = 1 – Φ(2) =
P{|X| > 1} = 1 – F(1) + F( –1) = + Φ(–1) = – Φ(1)
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第二章 随机变量及其分布
常见连续分布：
3. 指数分布 X～E(λ)
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