文档介绍：了解奇函数、偶函数的定义/会判断一些简单函数的奇偶性,并能够用函数的奇偶性解决一些函数问题/了解周期函数的定义,并能够用函数的周期性解决一些函数问题
函数的奇偶性与周期性
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函
数f(x)就叫做偶函数(even function).偶函数的图象关于y轴对称.
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么
函数f(x)就叫做奇函数(odd function).奇函数的图象关于原点对称.
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的
每一个值时,都有,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常
数T叫做这个函数的周期.
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那
么这个最小正数就叫做f(x)的.
f(x+T)=f(x)
最小正周期
,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
=-x3,x∈R =sin x,x∈R
=x,x∈R =( )x,x∈R
答案:A
2.(2010·豫南九校联考)f(x)= -x的图象关于( )
=-x对称
=x对称
解析:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
又
则f(x)为奇函数,图象关于原点对称.
答案:C
(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( )
A.-1
解析:由f(x+2)=-f(x)知f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
故知函数y=f(x)的周期为4,∴f(6)=f(4+2)=f(2)=-f(0).
∵f(x)是R上的奇函数,易知f(0)=0,∴f(6)=-f(0)=0,选B.
答案:B
(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函
数”是“h(x)为偶函数”的( )
解析:“f(x),g(x)均为偶函数”“h(x)=f(x)+g(x)为偶函数”,
例如f(x)=x3,g(x)=-x3,而h(x)=f(x)+g(x)为偶函数.
答案:B
(x),当x>0时,f(x)=x2+x+1,则f(x)=________.
解析:当x=0时,f(0)=-f(0),即f(0)=<0时,
f(x)=-f(-x)=-x2+x-1,
∴f(x)=
答案:
利用定义判断函数奇偶性的方法:
(1)首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的必要条件.
(2)如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断f(-x)=-f(x),或f(-x)=f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明,否则要举出反例).
【例1】下列函数:
①f(x)= ;②f(x)=x3-x;③f(x)=ln(x+ );
④f(x)= ;⑤f(x)=lg .其中奇函数的个数是( )
解析:①f(x)= 的定义域为{-1,1},
又f(-x)=±f(x)=0,
则f(x)= 是奇函数,也是偶函数;