文档介绍：(理解平面向量的基本定理及其意义/会用平面向量基本定理解决简单问题/掌握平面向量的正交分解及其坐标表示/会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算/理解用坐标表示的平面向量共线的条件)
平面向量的基本定理及坐标表示
如果向量a为非零向量,那么向量b与向量a共线⇔有且只有一个实数λ,
使得b=λa.
如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量
a,有且只有一对实数λ1,λ2使:a=λ1e1+,e2
叫做表示这一平面内所有向量的.
一组基底(base)
:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,,该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫作a在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标.
(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量.
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,
只与其相对位置有关.
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2)
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
(3)若a=(x,y),则λa=(λx, λy)
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
=(2,4),AC=(1,3),则BC=( )
A.(1,1) B.(-1,-1) C.(3,7) D.(-3,-7)
解析:BC=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1).
答案:B
(4,1),B(7,-3),则与AB同向的单位向量是( )
A. B. C. D.
解析:∵A(4,1),B(7,-3),AB=(3,-4),
∴与AB同向的单位向量为
答案:A
3.(2009·重庆高考)已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是( )
A.-2
解析:∵a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),
∴3(4x-2)-6(x+1)=0,解得x=2.
答案:D
,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=2,若OC=λOA+μOB(λ、μ∈R),则λ+μ的值为__________.
解析:如右图,OC=OD+OE=λOA+μOB
在△OCD中,∠COD=30°,∠OCD=∠COB=90°,可求|OD|=4,
同理可求|OE|=2,∴λ=4,μ=2,λ+μ=6.
答案:6
利用平面向量基本定理表示向量时,要选择一组恰当的基底来表示其他向量,即用特殊向量表示一般向量.
【例1】如右图,在△ABC中,M是BC的中点,N在边AC上,
且AN=2NC,AM与BN相交于P点,求AP∶PM的值.
解答: 设CA=a,CB=b,
AP=AB+BP=AB+λBN=AB+λ()
=b-a+λ(-b+ a)=( -1)a+(1-λ)b,
MP=MB+BP=MB+λBN= b+λ(-b+ a)= a+( -λ)b,
由AP∥MP,解得:λ= ,∴AP= =4PM.
即AP∶PM=4∶1.