文档介绍：(理解平面向量数量积的含义及其物理意义/了解平面向量的数量积与向量投影的关系/掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算/能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系/会用向量方法解决某些简单的平面几何问题/会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题)
平面向量的数量积及
平面向量应用举例
:已知非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π):当θ=0时a与b同向;当θ=π时,a与b反向;当θ=时,a与b垂直,记a⊥b;
(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cos θ叫a与b的数量积,记作a·b,即有a·b=|a||b|·cos θ.
3.“投影”的概念:|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影.
:数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos θ的乘积.
:两个非零向量a,b
(1)a⊥b⇔a·b=0.
(2)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|.
特别的a·a=|a|2或|a|= .
(3)|a·b|≤|a||b|.
:a·b=b·a;(λa)·b=λ(a·b);(a+b)·c=a·c+b·c.
|a|=2,|b|=4,a·b=-4,则a与b的夹角为( )
° ° ° °
解析:
答案:D
=(1,2),b=(1,-3),则向量a与b的夹角等于( )
° ° ° °
解析:
答案:D
、b互相垂直,给出下列各式:
①a·b=0;②a+b=a-b;③|a+b|=|a-b|;④|a|2+|b|2=(a+b)2;⑤(a+b)·(a-b)=( )
解析:①a·b=0,正确,②a+b与a-b方向不同,错误.③|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2,|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=|a|2+|b|2,∴|a+b|=|a-b|.正确.④(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|.⑤当|a|≠|b|时(a+b)·(a-b)=0不成立错误,故选B项.
答案:B
4.(2009·江苏卷)已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|= ,则向量a和向量b的数量积a·b=________.
解析:a·b=|a||b|cos θ=2 cos 30°=3.
答案:3
向量的运算是指向量的加法、减法、实数与向量的积和向量的数量积等,向量的运算类似于实数的运算,要注意二者之间的联系和区别,有些问题从运算律到运算结果都非常类似,例如a2-b2=(a-b)·(a+b)等,同时要注意:①数形结合思想方法的运用;②向量加法、减法和数乘向量的结果是向量,而向量数量积的运算结果是实数.
【例1】(1)证明:(a-b)2=a2-2a·b+b2;
(2)设a、b是夹角为60°的单位向量,求①|2a+b|、|3a-2b|;
②〈2a+b,3a-2b〉.
解答:(1)证明:(a-b)2=(a-b)·(a-b)=(a-b)·a-(a-b)·b=a2-b·a-(a·b-b2)=a2-2a·b+b2.
(2)①∵|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4+4|a||b|·cos60°+1=7,
∴|2a+b|= .
同理可求|3a-2b|= .
②cos〈2a+b,3a-2b〉
又0°≤〈2a+b,3a-2b〉≤180°,∴〈2a+b,3a-2b〉=60°.
=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b的夹角为θ满足0°≤θ≤180°,所以用
1. 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法: